Determine as transformadas inversas de Laplace para cada uma das funções abaixo:
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Passo 1
Beleza, então a gente precisa achar a transformada inversa de Laplace da função $ G(s) = \frac{2s + 1}{s(s^{2} + 9)} $. Isso envolve conceitos de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada pra resolver equações diferenciais e transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Vamos precisar usar frações parciais pra simplificar essa expressão e depois aplicar as transformadas inversas conhecidas.
Passo 2
Primeiro, a gente vai decompor $ G(s) $ em frações parciais. Isso significa que vamos escrever $ G(s) $ como uma soma de termos mais simples. A forma geral vai ser:
Onde $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que a gente precisa encontrar.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por $ s(s^{2} + 9) $ pra eliminar os denominadores:
Simplificando a expressão do lado direito:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Para $ s^{2} $: $ A + B = 0 $
- Para $ s $: $ C = 2 $
- Para o termo constante: $ 9A = 1 $
Resolvendo essas equações:
- De $ 9A = 1 $, temos $ A = \frac{1}{9} $
- De $ A + B = 0 $, com $ A = \frac{1}{9} $, então $ B = -\frac{1}{9} $
- Já achamos que $ C = 2 $
Passo 5
Com os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ encontrados, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separado. Sabemos que:
No nosso caso, $ a^{2} = 9 $, então $ a = 3 $.
Passo 7
Aplicando as transformadas inversas em cada termo:
(Note que para o último termo, ajustamos $ a = 3 $ e multiplicamos por 2: $ \frac{2}{3} \sin(3t) $)
Resposta
A transformada inversa de Laplace de $ G(s) = \frac{2s + 1}{s(s^{2} + 9)} $ é: