Determine as transformadas inversas de Laplace para cada uma das funções abaixo:
G(s)=2 s+1s(s^2+9).

Passo 1

Beleza, então a gente precisa achar a transformada inversa de Laplace da função $ G(s) = \frac{2s + 1}{s(s^{2} + 9)} $. Isso envolve conceitos de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada pra resolver equações diferenciais e transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Vamos precisar usar frações parciais pra simplificar essa expressão e depois aplicar as transformadas inversas conhecidas.

Passo 2

Primeiro, a gente vai decompor $ G(s) $ em frações parciais. Isso significa que vamos escrever $ G(s) $ como uma soma de termos mais simples. A forma geral vai ser:
G(s)
Onde $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por $ s(s^{2} + 9) $ pra eliminar os denominadores:
s(s^2 + 9)
Simplificando a expressão do lado direito:
2s + 1 = A(s^2 + 9) + (Bs + C)s
Juntando os termos semelhantes:
2s + 1 = A s^2 + 9A + Bs^2 + Cs

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Para $ s^{2} $: $ A + B = 0 $
  • Para $ s $: $ C = 2 $
  • Para o termo constante: $ 9A = 1 $
Resolvendo essas equações:
  • De $ 9A = 1 $, temos $ A = \frac{1}{9} $
  • De $ A + B = 0 $, com $ A = \frac{1}{9} $, então $ B = -\frac{1}{9} $
  • Já achamos que $ C = 2 $

Passo 5

Com os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ encontrados, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
A
Simplificando:
B

Passo 6

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separado. Sabemos que:
L^-11s = 1
L^-1ss^2 + a^2 = cos(at)
L^-1as^2 + a^2 = sin(at)
No nosso caso, $ a^{2} = 9 $, então $ a = 3 $.

Passo 7

Aplicando as transformadas inversas em cada termo:
L^-119s = 19 cdot 1 = 19
L^-1-19 cdot ss^2 + 9 = -19 cos(3t)
L^-12s^2 + 9 = 23 sin(3t)
(Note que para o último termo, ajustamos $ a = 3 $ e multiplicamos por 2: $ \frac{2}{3} \sin(3t) $)

Resposta

A transformada inversa de Laplace de $ G(s) = \frac{2s + 1}{s(s^{2} + 9)} $ é:
G(s) = 2s + 1s(s^2 + 9)

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