Encontre a derivada da função dada usando a definição: f(s)=4 ss+3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(s)=\frac{4s}{s+3} usando a definição de derivada, ou seja, transformar o problema no limite do quociente de diferenças. O conteúdo é derivada pela definição (primeiros princípios) e vamos precisar usar álgebras de frações e limites.

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada:
f'(s)=limhto0f(s+h)-f(s)h Primeiro, calculamos f(s+h):
f(s+h)=4(s+h)(s+h)+3=4(s+h)s+h+3

Passo 3

Montamos o quociente de diferenças:
f(s+h)-f(s)h=4(s+h)s+h+3-4ss+3h Para simplificar, colocamos as duas frações sobre o mesmo denominador:
4(s+h)(s+3)-4s(s+h+3)(s+h+3)(s+3)times1h

Passo 4

Expandindo e simplificando o numerador:
4(s^2+3s+hs+3h)-4(s^2+hs+3s)=4s^2+12s+4hs+12h-(4s^2+4hs+12s)=12h Logo o quociente vira
12h(s+h+3)(s+3)times1h=12(s+h+3)(s+3)

Passo 5

Aplicamos o limite quando h→0:
f'(s)=limhto012(s+h+3)(s+3)=12(s+3)^2 Assim, chegamos ao resultado final.

Resposta

f’(s)=\frac{12}{(s+3)^2}

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