Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
integral-a^a integral-raiza^2-y^2^raiza^2-y^2 integral-raiza^2-x^2-y^2^raiza^2-x^2-y^2(x^z z+y^2 barz+z^3) d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral tripla de
f(x,y,z)=x^2z+y^2z+z^3 sobre o domínio dado pelos limites
x^2+y^2+z^2<= a^2. O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas e vamos precisar das fórmulas de transformação
x=rsinphicostheta, y=rsinphisintheta, z=rcosphi e do elemento de volume dV=r^2sinphi,dr,dphi,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas esféricas expressamos f em função de r,phi,theta: como
x^2+y^2+z^2=r^2 e z=rcosphi, temos
f(r,phi,theta)=(x^2+y^2+z^2),z = r^2,(rcosphi)=r^3cosphi

Passo 3

O integrando completo vira
f,dV = r^3cosphi cdot r^2sinphi,dr,dphi,dtheta = r^5sinphicosphi,dr,dphi,dtheta Os limites são rin[0,a],phiin[0,pi],thetain[0,2pi].

Passo 4

A integral separa-se em produto de integrais:
integral0^2pidtheta ;integral0^pisinphicosphi,dphi ;integral0^ar^5,dr Note que
integral0^pisinphicosphi,dphi = tfrac12integral0^pisin(2phi),dphi = 0
por ser integral de função ímpar em torno de phi=tfracpi2.

Passo 5

Como a integral em phi dá zero, toda a integral tripla vale zero sem precisar calcular as outras partes.

Resposta

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