Determine as soluções das equações diferenciais ordinárias exatas a seguir:
(4 x+y) d x+(x+5 y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem uma equação diferencial ordinária exata da forma:
(4x + y) , dx + (x + 5y) , dy = 0
O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que satisfaça essa equação. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando dx e dy . Chamamos de:
M(x, y) = 4x + y
N(x, y) = x + 5y
Para a equação ser exata, precisa valer que:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y (4x + y) = 1
partial Npartial x = partialpartial x (x + 5y) = 1
Como partial Mpartial y = partial Npartial x , a equação é exata. Agora podemos seguir para encontrar a função potencial.

Passo 4

Vamos encontrar a função Phi(x, y) tal que:
partial Phipartial x = M(x, y) = 4x + y
Integrando M(x, y) em relação a x :
Phi(x, y) = integral (4x + y) , dx = 2x^2 + yx + h(y)
Aqui, h(y) é uma função de y que aparece na integração.

Passo 5

Agora, vamos determinar h(y) usando a derivada parcial de Phi em relação a y :
partial Phipartial y = x + h'(y)
Sabemos que isso deve ser igual a N(x, y) = x + 5y :
x + h'(y) = x + 5y
Simplificando, temos:
h'(y) = 5y
Integrando h'(y) em relação a y :
h(y) = 52 y^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, podemos escrever a função potencial completa:
Phi(x, y) = 2x^2 + xy + 52 y^2 + C
A equação diferencial exata é então igualada a uma constante:
2x^2 + xy + 52 y^2 = C

Resposta

As soluções da equação diferencial são dadas por:
2x^2 + xy + 52 y^2 = C
onde C é uma constante qualquer.

Exercícios relacionados