Determine as soluções das equações diferenciais ordinárias exatas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem uma equação diferencial ordinária exata da forma:
O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que satisfaça essa equação. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando
e
. Chamamos de:
Para a equação ser exata, precisa valer que:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Agora podemos seguir para encontrar a função potencial.
Passo 4
Vamos encontrar a função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece na integração.
Passo 5
Agora, vamos determinar
usando a derivada parcial de
em relação a
:
Sabemos que isso deve ser igual a
:
Simplificando, temos:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, podemos escrever a função potencial completa:
A equação diferencial exata é então igualada a uma constante:
Resposta
As soluções da equação diferencial são dadas por:
onde
é uma constante qualquer.