Utilize coordenadas esféricas para resolver a seguinte integral tripla
I=integral-raiz3^raiz3 integral-raiz3-x^2^raiz3-x^2 integral1^raiz4-x^2-y^2 zraizx^2+y^2(x^2+y^2+z^2)^2 d z d y d x

Passo 1

O problema pede calcular a integral tripla
I=integral-raiz3^raiz3integral-raiz3-x^2^raiz3-x^2integral1^raiz4-x^2-y^2zraizx^2+y^2(x^2+y^2+z^2)^2,dz,dy,dx
usando coordenadas esféricas.

Passo 2

Fazemos a mudança para coordenadas esféricas definindo
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
e o Jacobiano
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
O integrando original
zraizx^2+y^2(x^2+y^2+z^2)^2
vira
rhocosphirhosinphicdotrho^4=cosphisinphi,rho^4

Passo 3

A região de integração é limitada abaixo pelo plano z=1 e acima pela esfera rho=2. A condição z=1 em esféricas dá rhocosphi=1, ou seja rho=1/cosphi. A interseção entre o plano e a esfera ocorre em phi=arccos(1/2)=pi/3. Assim
0<=theta<=2pi, 0<=phi<=pi3, 1cosphi<=rho<=2

Passo 4

Montamos então
I=integral0^2piintegral0^pi/3integral1/cosphi^2cosphisinphi,rho^4,rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta =integral0^2pi!dthetaintegral0^pi/3!dphiintegral1/cosphi^2!cosphirho^2,drho
A integral em theta 2pi e em rho temos
integral1/cosphi^2rho^-2,drho=l[-rho^-1r]1/cosphi^2=cosphi-tfrac12
Logo sobra
I=2piintegral0^pi/3cosphil(cosphi-tfrac12r),dphi

Passo 5

Para a integral em phi escrevemos
integral0^pi/3(cos^2phi-tfrac12cosphi),dphi =l[tfracphi2+tfracsin2phi4r]0^pi/3-tfrac12l[sinphir]0^pi/3 =l(tfracpi6+tfracraiz38r)-tfrac12cdottfracraiz32 =tfracpi6-tfracraiz38
Multiplicando por 2pi obtemos

Passo 6

final_answer

Exercícios relacionados