Utilize coordenadas esféricas para calcular a massa do sólido situado acima do cone z^2=x^2+y^2 e interior à esfera x^2+y^2+z^2=4 z, sabendo que sua densidade de massa é dada por d(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2.

Passo 1

O problema pede para calcular a massa do sólido limitado por cima pelo cone z^2 = x^2 + y^2 e por dentro pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4z, com densidade d(x,y,z)=raizx^2+y^2+z^2. Vamos usar coordenadas esféricas para transformar o integral triplo em uma forma mais simples.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi,
a densidade fica d=raizrho^2=rho e o elemento de volume é dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. Logo o integrando dcdot dV vira
rho cdot rho^2sinphi = rho^3sinphi

Passo 3

Para determinar os limites de integração, observamos:
  • O cone z^2 = x^2 + y^2 em esféricas dá rho^2cos^2phi = rho^2sin^2phi ou phi = pi/4. Como queremos acima do cone, phi varia de 0 a pi/4.
  • A esfera x^2+y^2+z^2=4z vira rho^2=4rhocosphi, ou seja rho=4cosphi. Assim rho vai de 0 a 4cosphi.
  • Ângulo theta circula toda a volta, de 0 a 2pi.

Passo 4

O integral da massa M se escreve então
M=integraltheta=0^2pi!integralphi=0^pi/4!integralrho=0^4cosphi rho^3sinphi ,drho,dphi,dtheta

Passo 5

Primeiro integramos em rho:
integral0^4cosphi rho^3,drho = [rho^44]0^4cosphi = (4cosphi)^44 = 64cos^4phi
Retirando fator constante de theta, obtemos
M = 2pi integral0^pi/4 64cos^4phisinphi,dphi = 128pi integral0^pi/4 cos^4phisinphi,dphi

Passo 6

Para resolver integral0^pi/4 cos^4phisinphi,dphi, usamos a substituição
u = cosphi, dnu = -sinphi,dphi
Quando phi=0, nu=1; quando phi=pi/4, nu=tfracraiz22. Assim
integral0^pi/4 cos^4phisinphi,dphi = integral1^tfracraiz22 u^4(-dnu) = integraltfracraiz22^1 u^4,dnu = [u^55]tfracraiz22^1 = 15 - (tfracraiz22)^55
Calculando (tfracraiz22)^5 = tfracraiz28, vem
integral0^pi/4 cos^4phisinphi,dphi = 15l(1 - raiz28r) = 8-raiz240

Passo 7

Substituindo de volta em M:
M = 128pi cdot 8-raiz240 = 12840pi,(8-raiz2) = 16pi5(8-raiz2)

Resposta

M=16pi5(8-raiz2)

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