Utilize coordenadas esféricas para calcular a massa do sólido situado acima do cone
e interior à esfera
, sabendo que sua densidade de massa é dada por
.
Passo 1
O problema pede para calcular a massa do sólido limitado por cima pelo cone
e por dentro pela esfera
, com densidade
. Vamos usar coordenadas esféricas para transformar o integral triplo em uma forma mais simples.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos
a densidade fica
e o elemento de volume é
. Logo o integrando
vira
Passo 3
Para determinar os limites de integração, observamos:
- O cone
em esféricas dá ou . Como queremos acima do cone, varia de a . - A esfera
vira , ou seja . Assim vai de a . - Ângulo
circula toda a volta, de a .
Passo 4
O integral da massa
se escreve então
Passo 5
Primeiro integramos em
:
Retirando fator constante de
, obtemos
Passo 6
Para resolver
, usamos a substituição
Quando
,
; quando
,
. Assim
Calculando
, vem
Passo 7
Substituindo de volta em
: