Utilize coordenadas polares para determinar o limite, isto é, considere a parametrização \gamma_{\theta}(r)=(r \cos \theta, r \sin \theta). Note que se ( r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ) com r \geq 0, tem-se que r \rightarrow 0^{+}quando (x, y) \rightarrow(0,0).
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin\bigl(x^2+y^2\bigr)}{x^2+y^2}
usando coordenadas polares. O conteúdo é avaliação de limite de função de duas variáveis e sabemos que em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e r\to0^+ corresponde a (x,y)\to(0,0).

Passo 2

Fazendo a substituição polar, nota-se que
x^2+y^2 = r^2
logo a função torna-se
\frac{\sin\bigl(x^2+y^2\bigr)}{x^2+y^2} = \frac{\sin\bigl(r^2\bigr)}{r^2}.
Observe que essa expressão não depende de \theta.

Passo 3

Agora basta avaliar o limite unidimensional
\lim_{r\to0^+}\frac{\sin\bigl(r^2\bigr)}{r^2}.
Use a mudança de variável u=r^2. Quando r\to0^+, tem-se u\to0^+, e
\frac{\sin\bigl(r^2\bigr)}{r^2} = \frac{\sin(u)}{u}.
Sabemos do cálculo de uma variável que
\lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{u} = 1.

Passo 4

Portanto o limite original em duas variáveis é
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin\bigl(x^2+y^2\bigr)}{x^2+y^2} = 1.

Resposta

1

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