(2,5 pts) Calcule \iint_{S}(\operatorname{rot} \vec{F} \cdot \vec{n}) d S onde \vec{F}(x, y, z)=\left(z e^{x}-y, x+\cos (y z), x y\right) e S=S_{1} \cup S_{2} com S_{1} sendo a superfície z=4-2 x^{2}-y^{2} com 0 \leq z \leq 3 e S_{2} é a porção do plano z=3 restrita a elipse 2 x^{2}+y^{2}=1, com normal exterior.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \operatorname{rot}\vec F através da superfície S=S_{1}\cup S_{2} orientada para fora. O conteúdo envolvido é o Teorema da Divergência aplicado a \operatorname{rot}\vec F, sabendo que sempre vale \operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec F)=0.

Passo 2

Observamos que S_{1} (parte lateral do paraboloide z=4-2x^{2}-y^{2} para z\le3) e S_{2} (tampa no plano z=3 sobre a elipse 2x^{2}+y^{2}=1) formam em conjunto uma superfície fechada, que é a fronteira de um volume V.

Passo 3

Como regra geral de cálculo vetorial, temos
\operatorname{div}\bigl(\operatorname{rot}\vec F\bigr)=0.

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência em V,
\iint_{S}(\operatorname{rot}\vec F\cdot\vec n)\,dS =\iiint_{V}\operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec F)\,dV =\iiint_{V}0\,dV =0.

Resposta

0

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