( 2,5 \mathrm{pts} ) Calcule
\iint_{S} \frac{1}{\sqrt{3 x^{2}+3 y^{2}-z+10}} d S
onde S é a superfície x^{2}+y^{2}+z=9 compreendida acima do plano z=3-y.
Solução: A superfície S é a porção da superfície explícita z=9-x^{2}-y^{2} que se encontra dentro do plano z=3-y. Logo S pode ser parametrizada por
\varphi(x, y)=\left(x, y, 9-x^{2}-y^{2}\right), x^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2} \leq \frac{25}{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{S} \frac{1}{\sqrt{3x^{2}+3y^{2}-z+10}}\,dS
onde S é a parte da superfície x^{2}+y^{2}+z=9 compreendida acima do plano z=3-y. Vamos usar parametrização de superfícies e conversão para uma integral dupla em (x,y).

Passo 2

Como x^{2}+y^{2}+z=9 implica z=9-x^{2}-y^{2}, parametrizamos
\varphi(x,y)=\bigl(x,y,9-x^{2}-y^{2}\bigr).
A região D em que essa porção de superfície fica acima de z=3-y vem de
9-x^{2}-y^{2}=3-y \;\Longrightarrow\; x^{2}+y^{2}-y-6=0 \;\Longrightarrow\; x^{2}+\Bigl(y-\tfrac12\Bigr)^{2}=\frac{25}{4},
logo
D=\Bigl\{(x,y)\mid x^{2}+(y-\tfrac12)^{2}\le\tfrac{25}{4}\Bigr\}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de z=9-x^{2}-y^{2}:
z_x=-2x, \quad z_y=-2y.
O elemento de área de superfície é
dS =\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\;dx\,dy =\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\;dx\,dy.

Passo 4

No integrando, substituindo z=9-x^{2}-y^{2} obtemos
3x^{2}+3y^{2}-z+10 =3x^{2}+3y^{2}-(9-x^{2}-y^{2})+10 =4x^{2}+4y^{2}+1 =1+4x^{2}+4y^{2}.
Assim,
\frac{1}{\sqrt{3x^{2}+3y^{2}-z+10}} \;dS =\frac{1}{\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}} \;\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\;dx\,dy =1\;dx\,dy.

Passo 5

Portanto a integral de superfície se reduz à área de D:
\iint_{S}\frac{1}{\sqrt{3x^{2}+3y^{2}-z+10}}\,dS =\iint_{D}1\,dx\,dy =\text{área}(D) =\pi\Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr)^{2} =\frac{25\pi}{4}.á

Resposta

\displaystyle \frac{25\pi}{4}

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