Utilize coordenadas polares para determinar o limite. (Se ( r, \theta ) são as coordenadas polares do ponto ( x, y ) com r \geq 0, observe que r \rightarrow 0^{+}quando ( x, y ) \rightarrow(0,0).)
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{e^{x^{2}+y^{2}-1}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{e^{x^{2}+y^{2}-1}}{x^{2}+y^{2}}.
Dados importantes fornecidos:
  • As coordenadas polares são \;x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta\; com \;r\ge 0\;.
  • Em coordenadas polares temos \;r\to 0^{+}\; quando (x,y)\to(0,0).
  • A expressão envolve apenas x^{2}+y^{2}, que em polares é r^{2}.

Passo 2

Faça a substituição polar. Como x^{2}+y^{2}=r^{2}, a função fica (apenas em termos de r e independente de \theta):
\frac{e^{x^{2}+y^{2}-1}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{e^{r^{2}-1}}{r^{2}}.
Portanto o limite pedido é equivalente a
\lim_{r\to 0^{+}} \frac{e^{r^{2}-1}}{r^{2}}.

Passo 3

Entenda o comportamento das partes da fração quando r\to 0^{+}:
  • O numerador \;e^{r^{2}-1}\; tende para \;e^{-1}\neq 0\;, porque
\lim_{r\to 0^{+}} e^{r^{2}-1} = e^{0-1} = e^{-1}.
  • O denominador \;r^{2}\; tende para 0^{+}.
    Intuitivamente, uma constante positiva dividida por um número que vai para zero positivo tende para +\infty. Mas vamos tornar isso rigoroso com uma desigualdade simples.

Passo 4

Rigor por comparação (mastigado passo a passo):
  • Para 0<r<1 temos r^{2}-1\in(-1,0). Então
e^{r^{2}-1}\ge e^{-1}.
  • Assim, para 0<r<1,
\frac{e^{r^{2}-1}}{r^{2}} \ge \frac{e^{-1}}{r^{2}}.
  • Sabemos que
\lim_{r\to 0^{+}} \frac{e^{-1}}{r^{2}} = +\infty,
pois \;e^{-1}\; é constante positiva e \;r^{2}\to 0^{+}\; torna a razão arbitrariamente grande.
  • Pela desigualdade acima, a função \frac{e^{r^{2}-1}}{r^{2}} também tende para +\infty quando r\to 0^{+}.
    Se você quiser ver no estilo definição-ε (ou melhor, definição- M para divergência):
    dado M>0, escolha \delta=\min\!\left(1,\sqrt{\dfrac{e^{-1}}{M}}\right). Se 0<r<\delta então
\frac{e^{r^{2}-1}}{r^{2}}\ge \frac{e^{-1}}{r^{2}}>M,
o que prova que a função diverge para +\infty quando r\to 0^{+}.

Passo 5

Conclusão final: o limite não existe como número finito; ele diverge para infinito positivo. Em notação curta, o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

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