Utilize coordenadas polares para determinar o limite. (Se (
) são as coordenadas polares do ponto (
) com
, observe que
quando (
)
.)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Dados importantes fornecidos:
- As coordenadas polares são
com . - Em coordenadas polares temos
quando . - A expressão envolve apenas
, que em polares é .
Passo 2
Faça a substituição polar. Como
, a função fica (apenas em termos de
e independente de
):
Portanto o limite pedido é equivalente a
Passo 3
Entenda o comportamento das partes da fração quando
:
- O numerador
tende para , porque
- O denominador
tende para .
Intuitivamente, uma constante positiva dividida por um número que vai para zero positivo tende para. Mas vamos tornar isso rigoroso com uma desigualdade simples.
Passo 4
Rigor por comparação (mastigado passo a passo):
- Para
temos . Então
- Assim, para
,
- Sabemos que
pois
é constante positiva e
torna a razão arbitrariamente grande.
- Pela desigualdade acima, a função
também tende para quando .
Se você quiser ver no estilo definição-ε (ou melhor, definição-para divergência):
dado, escolha . Se então
o que prova que a função diverge para
quando
.
Passo 5
Conclusão final: o limite não existe como número finito; ele diverge para infinito positivo. Em notação curta, o limite é
.