Determine h(x, y)=g(f(x, y)) e o conjunto no qual h é contínua.
g(t)=t+\ln t, \quad f(x, y)=\frac{1}{1+x^{2} y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá as funções
g(t)=t+\ln t
e
f(x,y)=\frac{1}{1+x^{2}y^{2}}.
Pede-se: determinar h(x,y)=g(f(x,y)) (ou seja, compor g com f) e indicar o conjunto (domínio) em que h é contínua.
Informações relevantes dadas: fórmulas explícitas de g e f. Perguntas: (1) escrever h(x,y) explicitamente; (2) determinar o conjunto onde h é contínua.

Passo 2

Vamos compor diretamente: h(x,y)=g(f(x,y)). Substituindo t=f(x,y) na expressão de g obtemos a fórmula de h. Primeiro escrevo a composição sem simplificar ainda:
h(x,y)=f(x,y)+\ln\bigl(f(x,y)\bigr).

Passo 3

Agora substituo f(x,y)=\dfrac{1}{1+x^{2}y^{2}} na expressão do passo anterior. Isso dá
h(x,y)=\frac{1}{1+x^{2}y^{2}}+\ln\!\left(\frac{1}{1+x^{2}y^{2}}\right).
Uma forma alternativa, usando \ln\!\left(\dfrac{1}{A}\right)=-\ln A, é
h(x,y)=\frac{1}{1+x^{2}y^{2}}-\ln\!\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr).
Ambas as expressões representam a mesma função; a segunda costuma ficar mais compacta.

Passo 4

Agora precisamos achar o conjunto em que h é bem definida (domínio) e contínua. Primeiro condição de existência de \ln: a função \ln t exige t>0. Portanto, é necessário que
f(x,y)>0.
Vamos verificar f(x,y). Pelo próprio formato,
f(x,y)=\frac{1}{1+x^{2}y^{2}}.
O denominador 1+x^{2}y^{2} é sempre \ge 1 para qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, porque x^{2}y^{2}\ge 0. Logo 1+x^{2}y^{2}\ge1>0, e portanto
f(x,y)>0\quad\text{para todo }(x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
Assim f(x,y) toma valores em (0,1]. Conclusão: a condição f(x,y)>0 é satisfeita para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, então h está bem definida em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 5

Agora a continuidade. Vou usar fatos elementares sobre continuidade de operações básicas:
  • Polinômios são funções contínuas em toda parte. Em particular, (x,y)\mapsto x^{2}y^{2} é polinomial e, portanto, contínua em \mathbb{R}^{2}.
  • A soma e o produto de funções contínuas são contínuos; a composição de funções contínuas é contínua.
  • A função A\mapsto 1/A é contínua sempre que A\neq 0. Como aqui 1+x^{2}y^{2}\ge1\neq0, a aplicação (x,y)\mapsto\dfrac{1}{1+x^{2}y^{2}} é contínua em \mathbb{R}^{2}.
  • A função \ln t é contínua em (0,\infty). Como f(x,y)\in(0,1]\subset(0,\infty), a composição (x,y)\mapsto \ln(f(x,y)) é contínua em qualquer ponto onde f toma valores em (0,\infty) — aqui, em todo \mathbb{R}^{2}.
  • Finalmente, soma de funções contínuas é contínua. Portanto, h(x,y)=f(x,y)+\ln(f(x,y)) é contínua em todo ponto onde ambas as parcelas são contínuas, isto é, em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 6

Resumo didático curto: f é contínua porque é formada por somas, produtos e inversão (todas contínuas no seu domínio) aplicadas a x e y; g é contínua em (0,\infty) porque é soma de identidade e log; como f(\mathbb{R}^{2})\subset(0,\infty), a composição g\circ f é contínua em todo \mathbb{R}^{2} (teorema da composição de funções contínuas).

Resposta

h(x,y)=\dfrac{1}{1+x^{2}y^{2}}+\ln\!\left(\dfrac{1}{1+x^{2}y^{2}}\right)=\dfrac{1}{1+x^{2}y^{2}}-\ln\!\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)\n
h é contínua em \mathbb{R}^{2}.

Exercícios relacionados