Determine
e o conjunto no qual
é contínua.
Passo 1
O enunciado dá as funções
e
Pede-se: determinar
(ou seja, compor
com
) e indicar o conjunto (domínio) em que
é contínua.
Informações relevantes dadas: fórmulas explícitas de e
. Perguntas: (1) escrever
explicitamente; (2) determinar o conjunto onde
é contínua.
Informações relevantes dadas: fórmulas explícitas de
Passo 2
Vamos compor diretamente:
. Substituindo
na expressão de
obtemos a fórmula de
. Primeiro escrevo a composição sem simplificar ainda:
Passo 3
Agora substituo
na expressão do passo anterior. Isso dá
Uma forma alternativa, usando
, é
Ambas as expressões representam a mesma função; a segunda costuma ficar mais compacta.
Passo 4
Agora precisamos achar o conjunto em que
é bem definida (domínio) e contínua. Primeiro condição de existência de
: a função
exige
. Portanto, é necessário que
Vamos verificar
. Pelo próprio formato,
O denominador
é sempre
para qualquer
, porque
. Logo
, e portanto
Assim
toma valores em
. Conclusão: a condição
é satisfeita para todo
, então
está bem definida em todo
.
Passo 5
Agora a continuidade. Vou usar fatos elementares sobre continuidade de operações básicas:
- Polinômios são funções contínuas em toda parte. Em particular,
é polinomial e, portanto, contínua em . - A soma e o produto de funções contínuas são contínuos; a composição de funções contínuas é contínua.
- A função
é contínua sempre que . Como aqui , a aplicação é contínua em . - A função
é contínua em . Como , a composição é contínua em qualquer ponto onde toma valores em — aqui, em todo . - Finalmente, soma de funções contínuas é contínua. Portanto,
é contínua em todo ponto onde ambas as parcelas são contínuas, isto é, em todo .
Passo 6
Resumo didático curto:
é contínua porque é formada por somas, produtos e inversão (todas contínuas no seu domínio) aplicadas a
e
;
é contínua em
porque é soma de identidade e log; como
, a composição
é contínua em todo
(teorema da composição de funções contínuas).