Encontre o volume do sólido obtido quando rotacionamos a região delimitada pelas curvas y^{2}=x e y=x^{2} em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar, em torno do eixo x, a região limitada pelas curvas \;y^{2}=x\; e \;y=x^{2}.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
  • Duas curvas: \;y^{2}=x\; e \;y=x^{2}.\n
  • O eixo de rotação é o eixo x.\n
  • Precisamos encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região que fica entre essas curvas.

Passo 2

Primeiro precisamos determinar os pontos de interseção entre as duas curvas para saber os limites da região. Para isso, resolvemos o sistema
\begin{cases} y^{2}=x,\\[4pt] y=x^{2}. \end{cases}
Substituindo x da primeira na segunda, temos y=(y^{2})^{2}=y^{4}. Portanto
y^{4}-y=0.
Fatorando:
y(y^{3}-1)=0.
As soluções reais são y=0 e y=1. Usando x=y^{2} obtemos os pontos de interseção (0,0) e (1,1). Logo a região fica entre x=0 e x=1 (ou entre y=0 e y=1, dependendo do método).]

Passo 3

Agora escolhemos o método de cálculo do volume. Como o eixo de rotação é o eixo x, uma escolha natural e simples é o método dos discos (ou anéis/“washers”), integrando em x. Esse método consiste em tomar seções transversais perpendiculares ao eixo x; cada seção é um disco com possível furo central, cuja área é \pi(R^{2}-r^{2}), onde R é o raio externo e r o raio interno da seção. Vou usar esse método porque aqui as duas curvas podem ser vistas facilmente como funções y em termos de x (uma como função superior e outra como inferior) para x entre 0 e 1, e a integral fica direta e curta.

Passo 4

Explico a fórmula dos discos/anéis com calma: quando uma região entre duas curvas y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bot}}(x) é rota em torno do eixo x, o volume é dado por
V=\pi\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)^{2}-y_{\text{bot}}(x)^{2}\bigr)\,dx,
onde a e b são os pontos de interseção em x. Justificativa rápida: a seção transversal em x é um anel com área \pi R^{2}-\pi r^{2}, com R=y_{\text{top}}(x) e r=y_{\text{bot}}(x); somando essas áreas infinitesimais e integrando obtemos o volume.

Passo 5

Precisamos identificar, para x entre 0 e 1, qual é y_{\text{top}}(x) e qual é y_{\text{bot}}(x). Das equações:
y=x^{2}\quad\text{e}\quad y^{2}=x\iff y=\sqrt{x}\\ \text{(ramo positivo)}.
Para 0\le x\le1, comparamos \sqrt{x} e x^{2}. Por exemplo, para x=\tfrac{1}{4} temos \sqrt{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2} e (\tfrac{1}{4})^{2}=\tfrac{1}{16}; portanto \sqrt{x}>x^{2}. Assim, em [0,1] temos
y_{\text{top}}(x)=\sqrt{x},\qquad y_{\text{bot}}(x)=x^{2}.

Passo 6

Aplicando a fórmula dos anéis com a=0 e b=1, obtemos
V=\pi\int_{0}^{1}\bigl(\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}-\bigl(x^{2}\bigr)^{2}\bigr)\,dx.
Aqui eu escrevi \sqrt{x} e x^{2} explicitando que vamos elevar ao quadrado dentro da área do anel.

Passo 7

Simplificamos o integrando: \bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}=x e \bigl(x^{2}\bigr)^{2}=x^{4}. Assim
V=\pi\int_{0}^{1}\bigl(x-x^{4}\bigr)\,dx.

Passo 8

Calculamos a integral termo a termo. As primitivas são:
\int x\,dx=\tfrac{x^{2}}{2},\qquad \int x^{4}\,dx=\tfrac{x^{5}}{5}.
Portanto
\int_{0}^{1}\bigl(x-x^{4}\bigr)\,dx=\left[\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{5}.

Passo 9

Concluímos que o volume vale
V=\pi\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{5}\right).
(Deixo a simplificação final para a seção de resposta.)

Resposta

\dfrac{3\pi}{10}

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