Encontre o volume do sólido obtido quando rotacionamos a região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar, em torno do eixo
, a região limitada pelas curvas
e
.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
- Duas curvas:
e .\n - O eixo de rotação é o eixo
.\n - Precisamos encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região que fica entre essas curvas.
Passo 2
Primeiro precisamos determinar os pontos de interseção entre as duas curvas para saber os limites da região. Para isso, resolvemos o sistema
Substituindo
da primeira na segunda, temos
. Portanto
Fatorando:
As soluções reais são
e
. Usando
obtemos os pontos de interseção
e
. Logo a região fica entre
e
(ou entre
e
, dependendo do método).]
Passo 3
Agora escolhemos o método de cálculo do volume. Como o eixo de rotação é o eixo
, uma escolha natural e simples é o método dos discos (ou anéis/“washers”), integrando em
. Esse método consiste em tomar seções transversais perpendiculares ao eixo
; cada seção é um disco com possível furo central, cuja área é
, onde
é o raio externo e
o raio interno da seção. Vou usar esse método porque aqui as duas curvas podem ser vistas facilmente como funções
em termos de
(uma como função superior e outra como inferior) para
entre
e
, e a integral fica direta e curta.
Passo 4
Explico a fórmula dos discos/anéis com calma: quando uma região entre duas curvas
e
é rota em torno do eixo
, o volume é dado por
onde
e
são os pontos de interseção em
. Justificativa rápida: a seção transversal em
é um anel com área
, com
e
; somando essas áreas infinitesimais e integrando obtemos o volume.
Passo 5
Precisamos identificar, para
entre
e
, qual é
e qual é
. Das equações:
Para
, comparamos
e
. Por exemplo, para
temos
e
; portanto
. Assim, em
temos
Passo 6
Aplicando a fórmula dos anéis com
e
, obtemos
Aqui eu escrevi
e
explicitando que vamos elevar ao quadrado dentro da área do anel.
Passo 7
Simplificamos o integrando:
e
. Assim
Passo 8
Calculamos a integral termo a termo. As primitivas são:
Portanto
Passo 9
Concluímos que o volume vale
(Deixo a simplificação final para a seção de resposta.)