Utilize coordenadas polares para determinar os limites(Dica: note que se ( r, theta ) são as coordenadas polares do ponto (x, y), x=r cos (theta), y=r sin (theta), r >= 0, theta in[0,2 pi), então r 0+ quando (x, y) (0,0), pois x^2+y^2=r^2 ):
lim (x, y) (0,0) e^-1 /(x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
lim(x,y)to(0,0)e^-1/(x^2+y^2)
usando coordenadas polares. O conteúdo envolve limites em funções de duas variáveis e a ideia é reescrever a expressão em termos de r e theta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = rcos(theta), y = rsin(theta), r = raizx^2+y^2,
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e^-1/(x^2+y^2) = e^-1/r^2

Passo 3

Quando (x,y)to(0,0), temos rto0^+. Nesse limite o expoente
-1/r^2to -infty,
portanto
limrto0^+ e^-1/r^2 = 0

Passo 4

O valor obtido não depende de theta, o que garante que o limite em duas variáveis existe e vale o mesmo para todo caminho.

Resposta

0

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