Se possível, determine a soma das séries
$ \sum_{n=0} \left[ (-1)^n 9^{-n+2} \cdot (-2)^{n-2} \right]$

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série aqui:
sumn=0 [ (-1)^n cdot 9^-n+2 cdot (-2)^n-2 ]
A gente está lidando com séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre si. Vamos precisar simplificar essa expressão e ver se conseguimos identificar essa razão para calcular a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma:
(-1)^n cdot 9^-n+2 cdot (-2)^n-2
Vamos reescrever cada parte:
  • $ (-1)^n $ permanece.
  • $ 9^{-n+2} = 9^2 \cdot 9^{-n} = 81 \cdot 9^{-n} $
  • $ (-2)^{n-2} = (-2)^n \cdot (-2)^{-2} = \frac{(-2)^n}{4} $
Então, substituindo:
(-1)^n

Passo 3

Agora, vamos juntar os termos constantes:
81 cdot 14 = 814
E os termos que dependem de $ n $:
n
Perceba que $ (-1)^n \cdot (-2)^n = [(-1) \cdot (-2)]^n = 2^n $
Além disso, $ 9^{-n} = \left( \frac{1}{9} \right)^n $
Então, a expressão fica:
(-1)^n cdot 9^-n cdot (-2)^n

Passo 4

Agora, nossa série fica:
814 sumn=0 ( 29 )^n
Essa é uma série geométrica com primeiro termo $ a = 1 $ (quando $ n = 0 $) e razão $ r = \frac{2}{9} $

Passo 5

A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
S = a1 - r
Desde que $ |r| < 1 $, o que é verdade aqui porque $ \frac{2}{9} < 1 $

Passo 6

Aplicando a fórmula:
S = 11 - 29 = 179 = 97
Então, multiplicando pela constante que estava na frente:
814 cdot 97 = 72928

Resposta

A soma da série é $ \frac{729}{28} $.

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