Se possível, determine a soma das séries
$ \sum_{n=0} \left[ (-1)^n 9^{-n+2} \cdot (-2)^{n-2} \right]$
$ \sum_{n=0} \left[ (-1)^n 9^{-n+2} \cdot (-2)^{n-2} \right]$
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa série aqui:
A gente está lidando com séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre si. Vamos precisar simplificar essa expressão e ver se conseguimos identificar essa razão para calcular a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma:
Vamos reescrever cada parte:
- $ (-1)^n $ permanece.
- $ 9^{-n+2} = 9^2 \cdot 9^{-n} = 81 \cdot 9^{-n} $
- $ (-2)^{n-2} = (-2)^n \cdot (-2)^{-2} = \frac{(-2)^n}{4} $
Então, substituindo:
Passo 3
Agora, vamos juntar os termos constantes:
E os termos que dependem de $ n $:
Perceba que $ (-1)^n \cdot (-2)^n = [(-1) \cdot (-2)]^n = 2^n $
Além disso, $ 9^{-n} = \left( \frac{1}{9} \right)^n $
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, nossa série fica:
Essa é uma série geométrica com primeiro termo $ a = 1 $ (quando $ n = 0 $) e razão $ r = \frac{2}{9} $
Passo 5
A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Desde que $ |r| < 1 $, o que é verdade aqui porque $ \frac{2}{9} < 1 $
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Então, multiplicando pela constante que estava na frente:
Resposta
A soma da série é $ \frac{729}{28} $.