Utilize os dos primeiros termos não nulos de uma série de Maclaurin para aproximar o resultado de \int_{0}^{1} \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) d x
Passo 1
O enunciado pede que eu aproxime o valor da integral
utilizando os dois primeiros termos não nulos de uma série de Maclaurin. Informações relevantes que eu tenho do enunciado:
O integrando é \operatorname{sen}\left(x^{2}\right).
O intervalo de integração é [0,1].
Devo usar os dois primeiros termos não nulos da série de Maclaurin (ou seja, da expansão em torno de 0) para \operatorname{sen} aplicada a x^{2}.
Passo 2
Vamos lembrar como é a série de Maclaurin da função \sin. A série de Maclaurin é a expansão em potências de t em torno de t=0. Para \sin t temos (esta é uma igualdade conhecida, eu vou explicar por que é útil):
\sin t = t - \frac{t^{3}}{3!} + \frac{t^{5}}{5!} - \frac{t^{7}}{7!} + \cdots
Aqui cada termo tem a forma (-1)^{k}\dfrac{t^{2k+1}}{(2k+1)!} para k=0,1,2,\dots. Explicando as partes:
t é a variável da função \sin; no nosso problema vamos usar t=x^{2}.
O fatorial n! significa n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.
Os sinais alternam porque \sin é uma série alternada (positivo, negativo, positivo,…).
Essa série converge para \sin t para todo t real, então é legítimo substituir t=x^{2} e integrar termo a termo depois (em intervalos finitos isso é seguro).
Passo 3
Substituo t=x^{2} na série acima para obter a expansão de \sin\!\left(x^{2}\right):
Agora substituo essa aproximação dentro da integral e integro termo a termo (isso é permitido porque a série converge uniformemente em [0,1], e integrar polinômios é direto):
Como decimal (apenas para ter uma noção numérica),
\frac{13}{42}\approx 0,3095238.
Passo 6
É importante saber quão boa é essa aproximação. Vou estimar o erro ao usar apenas os dois primeiros termos. O próximo termo descartado na série de \sin t é \dfrac{t^{5}}{5!} (com sinal positivo), onde t=x^{2}. Portanto, o resto absoluto no integrando é, ponto a ponto,