Utilize os dos primeiros termos não nulos de uma série de Maclaurin para aproximar o resultado de
\int_{0}^{1} \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que eu aproxime o valor da integral
\int_{0}^{1} \operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\,dx
utilizando os dois primeiros termos não nulos de uma série de Maclaurin. Informações relevantes que eu tenho do enunciado:
  • O integrando é \operatorname{sen}\left(x^{2}\right).
  • O intervalo de integração é [0,1].
  • Devo usar os dois primeiros termos não nulos da série de Maclaurin (ou seja, da expansão em torno de 0) para \operatorname{sen} aplicada a x^{2}.

Passo 2

Vamos lembrar como é a série de Maclaurin da função \sin. A série de Maclaurin é a expansão em potências de t em torno de t=0. Para \sin t temos (esta é uma igualdade conhecida, eu vou explicar por que é útil):
\sin t = t - \frac{t^{3}}{3!} + \frac{t^{5}}{5!} - \frac{t^{7}}{7!} + \cdots
Aqui cada termo tem a forma (-1)^{k}\dfrac{t^{2k+1}}{(2k+1)!} para k=0,1,2,\dots. Explicando as partes:
  • t é a variável da função \sin; no nosso problema vamos usar t=x^{2}.
  • O fatorial n! significa n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.
  • Os sinais alternam porque \sin é uma série alternada (positivo, negativo, positivo,…).
Essa série converge para \sin t para todo t real, então é legítimo substituir t=x^{2} e integrar termo a termo depois (em intervalos finitos isso é seguro).

Passo 3

Substituo t=x^{2} na série acima para obter a expansão de \sin\!\left(x^{2}\right):
\sin\!\left(x^{2}\right) = x^{2} - \frac{(x^{2})^{3}}{3!} + \frac{(x^{2})^{5}}{5!} - \cdots
Agora calculo explicitamente as potências:
(x^{2})^{3} = x^{6},\qquad (x^{2})^{5} = x^{10}.
Os dois primeiros termos não nulos (os dois primeiros termos da série que não são zero) são, portanto,
x^{2}\quad\text{e}\quad -\frac{x^{6}}{3!} = -\frac{x^{6}}{6}.
Logo, usando apenas esses dois termos, faço a aproximação
\sin\!\left(x^{2}\right) \approx x^{2} - \frac{x^{6}}{6}.

Passo 4

Agora substituo essa aproximação dentro da integral e integro termo a termo (isso é permitido porque a série converge uniformemente em [0,1], e integrar polinômios é direto):
\int_{0}^{1} \sin\!\left(x^{2}\right)\,dx \approx \int_{0}^{1}\left(x^{2} - \frac{x^{6}}{6}\right)\,dx.
Quebrando em duas integrais:
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx - \frac{1}{6}\int_{0}^{1} x^{6}\,dx.
Agora calculo cada integral com passos bem explícitos:
  • Para \int_{0}^{1} x^{2}\,dx: a primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}. Avaliando de 0 a 1
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{1}{3}.
  • Para \int_{0}^{1} x^{6}\,dx: a primitiva de x^{6} é \dfrac{x^{7}}{7}. Avaliando de 0 a 1
\int_{0}^{1} x^{6}\,dx = \left.\frac{x^{7}}{7}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{7}}{7}-0=\frac{1}{7}.
Substituindo nas expressões:
\int_{0}^{1}\left(x^{2} - \frac{x^{6}}{6}\right)\,dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{7}.

Passo 5

Faço a conta final de frações passo a passo:
\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{7}=\frac{1}{42}.
Então
\frac{1}{3}-\frac{1}{42} = \frac{14}{42}-\frac{1}{42}=\frac{13}{42}.
Como decimal (apenas para ter uma noção numérica),
\frac{13}{42}\approx 0,3095238.

Passo 6

É importante saber quão boa é essa aproximação. Vou estimar o erro ao usar apenas os dois primeiros termos. O próximo termo descartado na série de \sin t é \dfrac{t^{5}}{5!} (com sinal positivo), onde t=x^{2}. Portanto, o resto absoluto no integrando é, ponto a ponto,
\left|R(x)\right| \le \frac{(x^{2})^{5}}{5!} = \frac{x^{10}}{120}
para x\in[0,1]. Integrando esse limite sobre [0,1] obtemos um limite para o erro absoluto da integral:
\left|\text{erro}\right| \le \int_{0}^{1}\frac{x^{10}}{120}\,dx = \frac{1}{120}\cdot\frac{1}{11}=\frac{1}{1320}\approx 0,0007576.
Ou seja, o valor aproximado \dfrac{13}{42} difere do valor exato da integral por menos de 1/1320, que é um erro bem pequeno.

Resposta

\dfrac{13}{42}\approx 0,3095238

Exercícios relacionados