Utilize o critério da raiz para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{n}{2n+1}\Bigr)^{n}
usando o critério da raiz, que consiste em calcular
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\Bigl|\frac{n}{2n+1}\Bigr|^{n}}
e comparar L com 1.

Passo 2

Vamos aplicar o critério da raiz:
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\Bigl(\frac{n}{2n+1}\Bigr)^{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1}.

Passo 3

Calculamos o limite
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2 + \tfrac1n} = \frac12.

Passo 4

Como L = \tfrac12 < 1, pelo critério da raiz a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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