Utilize o critério da razão para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{4 n}}{(2 n+1)!}

Passo 1

O enunciado pede para usar o critério da razão na série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{4n}}{(2n+1)!}.
O conteúdo principal é o teste da razão, que fornece convergência absoluta se o limite da razão dos termos em valor absoluto for menor que 1.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \frac{(-1)^{n}2^{4n}}{(2n+1)!}
e consideramos sua versão em módulo
b_{n} = |a_{n}| = \frac{2^{4n}}{(2n+1)!}.

Passo 3

Aplicamos o critério da razão calculando
\frac{b_{n+1}}{b_{n}} = \frac{2^{4(n+1)}/\bigl(2(n+1)+1\bigr)!}{2^{4n}/(2n+1)!} = \frac{2^{4n+4}}{(2n+3)!}\cdot\frac{(2n+1)!}{2^{4n}} = \frac{2^{4}}{(2n+3)(2n+2)}.

Passo 4

Calculamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{16}{(2n+3)(2n+2)} = 0.

Passo 5

Como L=0<1, pelo critério da razão a série \sum b_{n} converge. Logo, a série original converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente (e, consequentemente, converge).

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