Utilize a definição para provar que os limites existem:
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição (épsilon‑delta), que
Informações fornecidas:
- A função é constante e vale
para todo ; podemos escrever . - O ponto de interesse é
. - O objetivo é mostrar que, segundo a definição de limite, o limite de
quando é .
Passo 2
Vou escrever claramente a definição de limite que vamos usar. Dizemos que
se, e somente se,
Explicando cada símbolo:
-
é a tolerância que o examinador pode escolher (quão perto queremos que esteja de ). -
é a distância no domínio que precisamos assegurar em torno de para garantir a tolerância. - A implicação
significa: se estiver dentro de de (mas diferente de ), então estará dentro de de .
Passo 3
Calcular a diferença
para a função constante. Como
e
,
Esse é o passo-chave: para toda
(qualquer valor de
) a diferença entre
e
é exatamente
.
Passo 4
Agora aplico a definição: seja um
arbitrário. Quero encontrar um
que satisfaça a implicação. Mas como
para todo
, tenho imediatamente
para qualquer
. Assim a condição
já vale sem impor nenhuma restrição sobre
(exceto, na definição,
). Portanto qualquer escolha de
funciona. Por exemplo, posso escolher explicitamente
Então, sempre que
(isto é, sempre que
), vale
. Como a escolha de
foi arbitrária, isso prova a condição universal da definição.
Passo 5
Concluo que para todo
existe
(por exemplo
, ou qualquer
) tal que
implica
. Pelo que a definição exige, isso mostra que