Utilize a definição para provar que os limites existem:
b) \lim_{x \to 4} 20 = 20

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição (épsilon‑delta), que
\lim_{x \to 4} 20 = 20.
Informações fornecidas:
  • A função é constante e vale 20 para todo x; podemos escrever f(x)=20.
  • O ponto de interesse é a=4.
  • O objetivo é mostrar que, segundo a definição de limite, o limite de f(x) quando x\to4 é L=20.

Passo 2

Vou escrever claramente a definição de limite que vamos usar. Dizemos que
\lim_{x\to a} f(x)=L
se, e somente se,
\forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \bigl(0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon\bigr).
Explicando cada símbolo:
  • \varepsilon>0 é a tolerância que o examinador pode escolher (quão perto queremos que f(x) esteja de L).
  • \delta>0 é a distância no domínio que precisamos assegurar em torno de a para garantir a tolerância.
  • A implicação 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon significa: se x estiver dentro de \delta de a (mas diferente de a), então f(x) estará dentro de \varepsilon de L.

Passo 3

Calcular a diferença |f(x)-L| para a função constante. Como f(x)=20 e L=20,
|f(x)-L| = |20-20| = 0.
Esse é o passo-chave: para toda x (qualquer valor de x) a diferença entre f(x) e L é exatamente 0.

Passo 4

Agora aplico a definição: seja um \varepsilon>0 arbitrário. Quero encontrar um \delta>0 que satisfaça a implicação. Mas como |f(x)-L|=0 para todo x, tenho imediatamente
|f(x)-L|=0<\varepsilon
para qualquer \varepsilon>0. Assim a condição |f(x)-L|<\varepsilon já vale sem impor nenhuma restrição sobre x (exceto, na definição, x\neq a). Portanto qualquer escolha de \delta>0 funciona. Por exemplo, posso escolher explicitamente
\delta=1.
Então, sempre que 0<|x-4|<\delta (isto é, sempre que 0<|x-4|<1), vale |f(x)-20|=0<\varepsilon. Como a escolha de \varepsilon>0 foi arbitrária, isso prova a condição universal da definição.

Passo 5

Concluo que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (por exemplo \delta=1, ou qualquer \delta>0) tal que 0<|x-4|<\delta implica |f(x)-20|<\varepsilon. Pelo que a definição exige, isso mostra que
\lim_{x\to4}20=20.

Resposta

20

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