Derive.
(a) y=x e^3 x
(h) f(x)=(e^-x+e^x^2)^3
§ y=[ln (x^2+1)]^3
(b) y=e^x cos 2 x
(i) y=t^3 e^-3 t
© y=e^-x sen x
(j) g(x)=e^x^2 ln (1+raizx)
(q) y=ln (sec x+tg x)
(d) y=e^-2 t sen 3 t
(k) y=(sen 3 x+cos 2 x)^3
® y=cos ^3(x^3)
(e) f(x)=e^-x^2+ln (2 x+1)
(l) y=raize^x+e^-x
(f) g(t)=e^t-e^-te^t+e^-t
(m) y=ln (x+raizx^2+1)
(s) f(x)=cos xsen x^2
(g) y=cos 5 xsen 2 x
(n) y=raizx^2+e^raizx
(o) y=x ln (2 x+1)
(t) f(t)=t e^2 tln (3 t+1)

Passo 1

Neste exercício precisamos derivar uma coleção de funções usando regras básicas de derivação: soma, produto, quociente e cadeia, aplicadas a funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.

Passo 2

Para (a) usamos a regra do produto e a cadeia em e^3x. Derivada de y= x e^3x:
Produto: (uv)'=u'v+uv' e cadeia em e^3x.
y'=1cdot e^3x+xcdot e^3xcdot3=e^3x(1+3x)

Passo 3

Em (b) também usamos o produto, agora com e^x e cos2x, aplicando cadeia em cos2x:
y'=e^xcos2x+e^x(-sin2x)cdot2=e^x(cos2x-2sin2x)

Passo 4

Em © produto de e^-x e sin x; cadeia em e^-x:
y'=e^-x(-1)sin x+e^-xcos x=e^-x(cos x-sin x)

Passo 5

Em (d) produto de e^-2t e sin3t; usamos cadeia em ambos:
y'=e^-2t(-2)sin3t+e^-2tcos3tcdot3=e^-2t(-2sin3t+3cos3t)

Passo 6

Em (e) soma de e^-x^2 e ln(2x+1):
Para e^-x^2 cadeia: derivada do expoente -2x; para ln(2x+1) derivada interior 2.
f'(x)=e^-x^2(-2x)+22x+1=-2x e^-x^2+22x+1

Passo 7

Em (f) quociente g(t)=e^t-e^-te^t+e^-t. Regra do quociente (u/v)'=(u'v-uv')/v^2:
u'=e^t+e^-t, v'=e^t-e^-t
g'(t)=(e^t+e^-t)(e^t+e^-t)-(e^t-e^-t)(e^t-e^-t)(e^t+e^-t)^2=4(e^t+e^-t)^2

Passo 8

Em (g) quociente de cos5x por sin2x:
y'=-sin5xcdot5cdotsin2x-cos5xcdotcos2xcdot2sin^2 2x=-5sin5xsin2x+2cos5xcos2xsin^2 2x

Passo 9

Em (h) função composta potência 3 sobre soma de exponenciais. Regra da cadeia:
f'(x)=3(e^-x+e^x^2)^2cdotl(-e^-x+e^x^2cdot2xr)

Passo 10

Em (i) produto de t^3 e e^-3t:
y'=3t^2 e^-3t+t^3 e^-3t(-3)=e^-3t(3t^2-3t^3)=3t^2 e^-3t(1-t)

Passo 11

Em (j) produto de e^x^2 e ln(1+raizx):
Derivada de e^x^2= 2x e^x^2. Para ln(1+raizx) cadeia: interior 1+raizx tem derivada 1/(2raizx).
g'(x)=2x e^x^2ln(1+raizx)+e^x^2cdot11+raizxcdot12raizx

Passo 12

Em (k) potência 3 de soma trig: cadeia e soma:
y'=3(sin3x+cos2x)^2(cos3xcdot3-sin2xcdot2)

Passo 13

Em (l) raiz quadrada de soma de exponenciais: cadeia num (e^x+e^-x)^1/2:
y'=12(e^x+e^-x)^-1/2(e^x-e^-x)

Passo 14

Em (m) logaritmo de x+raizx^2+1: cadeia em ln(u) e em u=x+raizx^2+1:
y'=1+xraizx^2+1x+raizx^2+1=raizx^2+1+xraizx^2+1(x+raizx^2+1)=1raizx^2+1

Passo 15

Em (n) raiz de soma: y=(x^2+e^raizx)^1/2. Cadeia dupla: primeiro (cdot)^1/2, depois e^raizx e raizx.
y'=12(x^2+e^raizx)^-1/2(2x+e^raizxcdot12raizx)

Passo 16

Em (o) produto de x e ln(2x+1):
y'=1cdotln(2x+1)+xcdot22x+1=ln(2x+1)+2x2x+1

Passo 17

Em § potência 3 de ln(x^2+1): cadeia dupla:
y'=3[ln(x^2+1)]^2cdot2xx^2+1=6x[ln(x^2+1)]^2x^2+1

Passo 18

Em (q) y=ln(sec x+tan x). Regra de ln(u) e derivadas de sec x e tan x:
y'=sec xtan x+sec^2 xsec x+tan x=sec x(tan x+sec x)sec x+tan x=sec x

Passo 19

Em ® y=cos^3(x^3): potência 3 e cadeia dupla em x^3:
y'=3cos^2(x^3)(-sin(x^3))cdot3x^2=-9x^2cos^2(x^3)sin(x^3)

Passo 20

Em (s) quociente f(x)=cos xsin x^2. Quociente e cadeia em sin x^2:
u'= -sin x, v'=cos x^2cdot2x
f'(x)=-sin x,sin x^2-cos x,2xcos x^2sin^2 x^2

Passo 21

Em (t) quociente de t e^2t por ln(3t+1): produto no numerador e cadeia no denominador:
u'=1cdot e^2t+tcdot2e^2t=e^2t(1+2t), v'=33t+1
f'(t)=e^2t(1+2t)ln(3t+1)-t e^2t33t+1[ln(3t+1)]^2

Resposta

(a) y'=e^3x(1+3x)
(b) y'=e^x(cos2x-2sin2x)
© y'=e^-x(cos x-sin x)
(d) y'=e^-2t(-2sin3t+3cos3t)
(e) f'(x)=-2x e^-x^2+22x+1
(f) g'(t)=4(e^t+e^-t)^2
(g) y'=-5sin5xsin2x+2cos5xcos2xsin^2 2x
(h) f'(x)=3(e^-x+e^x^2)^2(-e^-x+2x e^x^2)
(i) y'=3t^2 e^-3t(1-t)
(j) g'(x)=2x e^x^2ln(1+raizx)+e^x^22raizx(1+raizx)
(k) y'=3(sin3x+cos2x)^2(3cos3x-2sin2x)
(l) y'=e^x-e^-x2raize^x+e^-x
(m) y'=1raizx^2+1
(n) y'=2x+tfrace^raizx2raizx2raizx^2+e^raizx
(o) y'=ln(2x+1)+2x2x+1
§ y'=6x[ln(x^2+1)]^2x^2+1
(q) y'=sec x
® y'=-9x^2cos^2(x^3)sin(x^3)
(s) f'(x)=-sin x,sin x^2-2xcos x,cos x^2sin^2 x^2
(t) f'(t)=e^2t(1+2t)ln(3t+1)-tfrac3t e^2t3t+1[ln(3t+1)]^2

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