Utilize dois caminhos para mostrar que os limites abaixo não existem.
(e) lim (x, y) (0,0) x^3-y^2x^2-y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o limite não existe. Isso faz parte do estudo de limites em funções de duas variáveis na Matemática, especificamente analisando o comportamento da função quando os pontos se aproximam de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um limite não existir. Se, ao calcular o limite pelo menos por dois caminhos diferentes, a gente obtiver resultados diferentes, então o limite geral não existe.

Passo 3

Vamos escolher o primeiro caminho: o eixo x^3-0^2x^2-0 = x^3x^2 = x . Isso significa que vamos aproximar limx to 0 x = 0 de ao longo de .
Substituindo na função:
Agora, calculando o limite de quando :
Então, pelo caminho , o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos escolher um segundo caminho diferente: vamos tomar x^3 - (x^2)^2x^2 - x^2 = x^3 - x^40 .
Substituindo na função:
Aqui, o denominador dá zero, mas o numerador também tende a zero. Então, precisamos analisar melhor esse caso.

Passo 5

Para resolver essa indeterminação, podemos simplificar a expressão:
x^3 - x^4x^2 - x^2 = x^3(1 - x)0
Como 00 , , então a expressão se aproxima de:
Isso indica que o limite não existe por esse caminho, mas para termos certeza, vamos tentar outro caminho.

Passo 6

Vamos tentar um terceiro caminho: x^3 - x^2x^2 - x = x^2(x - 1)x(x - 1) = x^2x = x .
Substituindo limx to 0 x = 0 na função:
Agora, calculando o limite de quando :
Então, pelo caminho , o limite também é 0.

Passo 7

Apesar de termos obtido zero por alguns caminhos, o fato de termos uma indeterminação em sugere que o comportamento da função não é consistente em todos os caminhos. Isso confirma que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, já que diferentes caminhos levam a resultados distintos ou a indeterminações.

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