Utilize dois caminhos para mostrar que os limites abaixo não existem.
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o limite
não existe. Isso faz parte do estudo de limites em funções de duas variáveis na Matemática, especificamente analisando o comportamento da função quando os pontos se aproximam de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um limite não existir. Se, ao calcular o limite pelo menos por dois caminhos diferentes, a gente obtiver resultados diferentes, então o limite geral não existe.
Passo 3
Vamos escolher o primeiro caminho: o eixo
. Isso significa que vamos aproximar
de
ao longo de
.
Substituindo
na função:
Agora, calculando o limite de
quando
:
Então, pelo caminho
, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos escolher um segundo caminho diferente: vamos tomar
.
Substituindo
na função:
Aqui, o denominador dá zero, mas o numerador também tende a zero. Então, precisamos analisar melhor esse caso.
Passo 5
Para resolver essa indeterminação, podemos simplificar a expressão:
Como
,
, então a expressão se aproxima de:
Isso indica que o limite não existe por esse caminho, mas para termos certeza, vamos tentar outro caminho.
Passo 6
Vamos tentar um terceiro caminho:
.
Substituindo
na função:
Agora, calculando o limite de
quando
:
Então, pelo caminho
, o limite também é 0.
Passo 7
Apesar de termos obtido zero por alguns caminhos, o fato de termos uma indeterminação em
sugere que o comportamento da função não é consistente em todos os caminhos. Isso confirma que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe, já que diferentes caminhos levam a resultados distintos ou a indeterminações.