Utilize dois caminhos para mostrar que os limites abaixo não existem.
lim (x, y) (0,0) x-y2 x+y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
lim(x,y)to(0,0)x - y2x + y não existe usando dois caminhos. É um problema de limites de funções de duas variáveis: a gente precisa ver que, se o limite existir, não pode depender do caminho de aproximação ao ponto (0,0).

Passo 2

Escolhemos o caminho y = 0. Substituindo na expressão original, temos:
x - 02x + 0 = x2x = 12
Como xto0, a expressão fica constantemente 1/2, logo o limite ao longo de y = 0 é 1/2.

Passo 3

Agora escolhemos o caminho y = x. Nesse caso,
x - x2x + x = 03x = 0
Quando xto0, o valor é sempre 0, então o limite ao longo de y = x é 0.

Passo 4

Como obtivemos dois valores diferentes ( 1/2 e 0) ao usar dois caminhos distintos, conclui-se que o limite depende da direção de aproximação e, portanto, não se estabiliza em um único número.

Resposta

O limite não existe.

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