Utilize dois caminhos para mostrar que os limites abaixo não existem.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não existe usando dois caminhos. É um problema de limites de funções de duas variáveis: a gente precisa ver que, se o limite existir, não pode depender do caminho de aproximação ao ponto (0,0).
Passo 2
Escolhemos o caminho y = 0. Substituindo na expressão original, temos:
Como
, a expressão fica constantemente
, logo o limite ao longo de y = 0 é
.
Passo 3
Agora escolhemos o caminho y = x. Nesse caso,
Quando
, o valor é sempre
, então o limite ao longo de y = x é
.
Passo 4
Como obtivemos dois valores diferentes (
e
) ao usar dois caminhos distintos, conclui-se que o limite depende da direção de aproximação e, portanto, não se estabiliza em um único número.
Resposta
O limite não existe.