Utilize as Equações 7 para determinar \partial z / \partial x e \partial z / \partial y.
x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=1

Passo 1

O enunciado dá a superfície implícita
x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} = 1
e pede as derivadas parciais \partial z/\partial x e \partial z/\partial y usando as fórmulas de diferenciação implícita (Equações 7), isto é,
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} \quad\text{e}\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z},
onde F(x,y,z)=0 descreve a superfície.

Passo 2

Definimos a função F(x,y,z) que anula a superfície:
F(x,y,z) = x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} - 1 = 0.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F:
F_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} - 1) = 2x,
F_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} - 1) = 4y,
F_z = \frac{\partial}{\partial z}(x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} - 1) = 6z.

Passo 4

Aplicando as fórmulas de diferenciação implícita:
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{2x}{6z} = -\frac{x}{3z},
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} = -\frac{4y}{6z} = -\frac{2y}{3z}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{3z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{2y}{3z}.

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