1. Encontre uma matriz X de ordem 2 , cuja diagonal secundária é não-nula, tal que X^{2}=I_{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede para encontrar uma matriz X de ordem 2 (ou seja, uma matriz 2\times2).
  • A condição que X deve satisfazer é X^{2}=I_{2}, onde I_{2} é a matriz identidade de ordem 2.
  • Além disso a matriz deve ter a diagonal secundária não-nula — isto significa que pelo menos um dos elementos da diagonal secundária (as posições (1,2) e (2,1)) não é zero. Vou assumir que isso quer dizer que não ambos são zero (podem ser ambos não nulos, o importante é que a diagonal secundária não seja completamente nula).

Passo 2

Escolher uma representação geral e calcular X^{2}.
  • Seja
X=\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix},
onde a,b,c,d são números reais (ou complexos, se preferir). Aqui a é o elemento da posição (1,1), b da posição (1,2) (primeira linha, segunda coluna — um dos elementos da diagonal secundária), c da posição (2,1) (outro elemento da diagonal secundária) e d da posição (2,2).
  • Vamos calcular X^{2}=X\cdot X. Multiplicando matrizes:
X^{2}=\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^{2}+bc & ab+bd \\[4pt] ca+dc & cb+d^{2} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Impor a condição X^{2}=I_{2} e obter um sistema de equações.
  • A matriz identidade é
I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • Igualando entradas correspondentes de X^{2} e I_{2} obtemos o sistema
\begin{cases} a^{2}+bc = 1,\\[4pt] ab+bd = 0,\\[4pt] ca+dc = 0,\\[4pt] cb+d^{2} = 1. \end{cases}
  • As duas equações do meio podem ser fatoradas:
ab+bd = b(a+d)=0, \qquad ca+dc = c(a+d)=0.]

Passo 4

Usar a condição sobre a diagonal secundária e simplificar o sistema.
  • Como a diagonal secundária não é nula, temos que pelo menos um entre b e c é diferente de zero. Se b\neq0 ou c\neq0, das igualdades b(a+d)=0 e c(a+d)=0 segue que
a+d=0.
  • Portanto d=-a. Substituindo nas equações das diagonais principais:
a^{2}+bc=1, \qquad cb+d^{2}=cb+(-a)^{2}=a^{2}+bc=1,
ou seja, sobra a única condição
a^{2}+bc=1.

Passo 5

Construir uma solução simples e verificar.
  • A maneira mais simples é escolher a conveniente e então escolher b e c tais que bc=1-a^{2}. Uma escolha muito simples é tomar a=0. Então a condição vira bc=1.
  • Escolhendo b=1 e c=1 (ambos não nulos, cumprindo a condição da diagonal secundária), obtemos
X=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.
  • Verificação direta:
X^{2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}=I_{2}.
Portanto esta matriz satisfaz X^{2}=I_{2} e tem a diagonal secundária não-nula.]

Passo 6

Observação geral (útil para a prova).
  • A família geral de matrizes 2\times2 que satisfaz X^{2}=I_{2} e com pelo menos um elemento da diagonal secundária não nulo é dada por
X=\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & -a \end{pmatrix}, \qquad\text{com}\qquad bc=1-a^{2},
e com b e c não ambos zero. Isso vem diretamente das relações que obtivemos acima. Assim além do exemplo fornecido, há muitas outras soluções (por exemplo escolher a=\tfrac{1}{2}, b=1 e c=\tfrac{3}{4}, etc., desde que bc=1-a^{2}).]

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados