Encontre uma matriz X de ordem 2 , cuja diagonal secundária é não-nula, tal que X^{2}=I_{2}.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
Pede para encontrar uma matriz X de ordem 2 (ou seja, uma matriz 2\times2).
A condição que X deve satisfazer é X^{2}=I_{2}, onde I_{2} é a matriz identidade de ordem 2.
Além disso a matriz deve ter a diagonal secundária não-nula — isto significa que pelo menos um dos elementos da diagonal secundária (as posições (1,2) e (2,1)) não é zero. Vou assumir que isso quer dizer que não ambos são zero (podem ser ambos não nulos, o importante é que a diagonal secundária não seja completamente nula).
Passo 2
Escolher uma representação geral e calcular X^{2}.
Seja
X=\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix},
onde a,b,c,d são números reais (ou complexos, se preferir). Aqui a é o elemento da posição (1,1), b da posição (1,2) (primeira linha, segunda coluna — um dos elementos da diagonal secundária), c da posição (2,1) (outro elemento da diagonal secundária) e d da posição (2,2).
X^{2}=\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^{2}+bc & ab+bd \\[4pt] ca+dc & cb+d^{2} \end{pmatrix}.]
Passo 3
Impor a condição X^{2}=I_{2} e obter um sistema de equações.
Usar a condição sobre a diagonal secundária e simplificar o sistema.
Como a diagonal secundária não é nula, temos que pelo menos um entre b e c é diferente de zero. Se b\neq0 ou c\neq0, das igualdades b(a+d)=0 e c(a+d)=0 segue que
a+d=0.
Portanto d=-a. Substituindo nas equações das diagonais principais:
A maneira mais simples é escolher a conveniente e então escolher b e c tais que bc=1-a^{2}. Uma escolha muito simples é tomar a=0. Então a condição vira bc=1.
Escolhendo b=1 e c=1 (ambos não nulos, cumprindo a condição da diagonal secundária), obtemos
Portanto esta matriz satisfaz X^{2}=I_{2} e tem a diagonal secundária não-nula.]
Passo 6
Observação geral (útil para a prova).
A família geral de matrizes 2\times2 que satisfaz X^{2}=I_{2} e com pelo menos um elemento da diagonal secundária não nulo é dada por
X=\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & -a \end{pmatrix}, \qquad\text{com}\qquad bc=1-a^{2},
e com b e c não ambos zero. Isso vem diretamente das relações que obtivemos acima. Assim além do exemplo fornecido, há muitas outras soluções (por exemplo escolher a=\tfrac{1}{2}, b=1 e c=\tfrac{3}{4}, etc., desde que bc=1-a^{2}).]