Utilize estratégias para que os sistemas abaixo possam ser resolvidos pelos Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel:
\left\{\begin{array}{l}x_{1}+0,5 x_{2}-0,1 x_{3}=0,2 \\\\ --0,1 x_{1}-0,2 x_{2}+x_{3}=1 \\\\ 0,2 x_{1}+x_{2}-0,2 x_{3}=-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x_{1}+0,5x_{2}-0,1x_{3}=0,2\\\\ -0,1x_{1}-0,2x_{2}+x_{3}=1\\\\ 0,2x_{1}+x_{2}-0,2x_{3}=-2 \end{cases}
Lista clara do que é pedido e o que temos:
  • O que nos é pedido: aplicar estratégias para que o sistema possa ser resolvido pelos Métodos Iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel e, em seguida, executar as iterações (obter aproximações para x_{1},x_{2},x_{3}).
  • Informações dadas: coeficientes das equações e termos independentes (veja o sistema acima).
  • Observação importante (retirada diretamente do enunciado): as entradas numéricas foram tomadas da expressão que você enviou.

Passo 2

Estratégia principal (motivação): os métodos de Jacobi e Gauss–Seidel convergem com mais segurança quando a matriz do sistema tem diagonal dominante por linhas (ou outras condições que garantam convergência). Vamos verificar a dominância e, se necessário, reorganizar as equações (permuta de linhas) para obter dominância estrita na diagonal. Isso é permitido porque trocar ordens das equações não altera a solução do sistema.
Analisando a matriz de coeficientes original
A=\begin{pmatrix} 1 & 0,5 & -0,1\\[4pt] -0,1 & -0,2 & 1\\[4pt] 0,2 & 1 & -0,2 \end{pmatrix}
  • linha 1: [|1|>0,5+0,1=0,6) OK;
  • linha 2: |-0,2|=0,2 < 0,1+1=1,1 não dominante;
  • linha 3: |-0,2|=0,2 < 0,2+1=1,2 não dominante.
Tática simples: trocar as linhas 2 e 3. Fiz a permuta (peguei a informação das equações originais e apenas troquei as equações 2 e 3). O sistema reorganizado fica:
\begin{cases} x_{1}+0,5x_{2}-0,1x_{3}=0,2\\[4pt] 0,2x_{1}+1x_{2}-0,2x_{3}=-2\\[4pt] -0,1x_{1}-0,2x_{2}+1x_{3}=1 \end{cases}
Agora a matriz é
A_{\text{perm}}=\begin{pmatrix} 1 & 0,5 & -0,1\\[4pt] 0,2 & 1 & -0,2\\[4pt] -0,1 & -0,2 & 1 \end{pmatrix},
e cada linha tem dominância estrita na diagonal:
  • linha 1: 1>0,6\], - linha 2: \(1>0,2+0,2=0,4,
    - linha 3: 1>0,1+0,2=0,3.
Ter dominância diagonal estrita garante convergência dos métodos iterativos (Jacobi e Gauss–Seidel) para a solução exata do sistema.]

Passo 3

Apresentando as fórmulas iterativas (fórmula prática que você vai usar na prova). Para cada equação isolamos a incógnita do respectivo índice na diagonal.
Do sistema permutado isolamos:
\begin{aligned} x_{1} &= 0,2 - 0,5x_{2} + 0,1x_{3},\\[4pt] x_{2} &= -2 - 0,2x_{1} + 0,2x_{3},\\[4pt] x_{3} &= 1 + 0,1x_{1} + 0,2x_{2}. \end{aligned}
Explicação didática das fórmulas:
  • Em Jacobi, ao calcular as novas aproximações x_{i}^{(k+1)} usamos sempre os valores da iteração anterior x^{(k)} para todas as outras variáveis.
  • Em Gauss–Seidel, ao calcular x_{i}^{(k+1)} usamos os valores já atualizados x_{1}^{(k+1)},\dots,x_{i-1}^{(k+1)} e para as variáveis ainda não atualizadas usamos x_{j}^{(k)}.
Escolha do chute inicial: vamos usar o chute padrão \,x^{(0)}=(0,0,0)\, (é simples e bastante usado em provas).]

Passo 4

Metodo de Jacobi — fórmulas explícitas das iterações
\begin{aligned} x_{1}^{(k+1)} &= 0,2 - 0,5\,x_{2}^{(k)} + 0,1\,x_{3}^{(k)},\\[6pt] x_{2}^{(k+1)} &= -2 - 0,2\,x_{1}^{(k)} + 0,2\,x_{3}^{(k)},\\[6pt] x_{3}^{(k+1)} &= 1 + 0,1\,x_{1}^{(k)} + 0,2\,x_{2}^{(k)}. \end{aligned}
Vou calcular as iterações com detalhe usando x^{(0)}=(0,0,0). Cada linha mostra os cálculos numéricos diretos (não pulei passos aritméticos):
k = 0 → k = 1:
\begin{aligned} x_{1}^{(1)} &= 0,2 - 0,5\cdot 0 + 0,1\cdot 0 = 0,2,\\[4pt] x_{2}^{(1)} &= -2 - 0,2\cdot 0 + 0,2\cdot 0 = -2,\\[4pt] x_{3}^{(1)} &= 1 + 0,1\cdot 0 + 0,2\cdot 0 = 1. \end{aligned}
k = 1 → k = 2:
\begin{aligned} x_{1}^{(2)} &= 0,2 -0,5(-2) + 0,1(1)=0,2 +1 +0,1 = 1,3,\\[4pt] x_{2}^{(2)} &= -2 -0,2(0,2) +0,2(1) = -2 -0,04 +0,2 = -1,84,\\[4pt] x_{3}^{(2)} &= 1 +0,1(0,2) +0,2(-2) = 1 +0,02 -0,4 = 0,62. \end{aligned}
k = 2 → k = 3:
\begin{aligned} x_{1}^{(3)} &= 0,2 -0,5(-1,84) +0,1(0,62)=0,2 +0,92 +0,062 = 1,182,\\[4pt] x_{2}^{(3)} &= -2 -0,2(1,3) +0,2(0,62)= -2 -0,26 +0,124 = -2,136,\\[4pt] x_{3}^{(3)} &= 1 +0,1(1,3) +0,2(-1,84)=1 +0,13 -0,368 = 0,762. \end{aligned}
k = 3 → k = 4:
\begin{aligned} x_{1}^{(4)} &= 0,2 -0,5(-2,136) +0,1(0,762)=0,2 +1,068 +0,0762 = 1,3442,\\[4pt] x_{2}^{(4)} &= -2 -0,2(1,182) +0,2(0,762)= -2 -0,2364 +0,1524 = -2,084,\\[4pt] x_{3}^{(4)} &= 1 +0,1(1,182) +0,2(-2,136)=1 +0,1182 -0,4272 = 0,691. \end{aligned}
k = 4 → k = 5:
\begin{aligned} x_{1}^{(5)} &= 0,2 -0,5(-2,084) +0,1(0,691)=0,2 +1,042 +0,0691 = 1,3111,\\[4pt] x_{2}^{(5)} &= -2 -0,2(1,3442) +0,2(0,691)= -2 -0,26884 +0,1382 = -2,13064,\\[4pt] x_{3}^{(5)} &= 1 +0,1(1,3442) +0,2(-2,084)=1 +0,13442 -0,4168 = 0,71762. \end{aligned}
Continuei as iterações até a décima iteração (escrever todas com mesmo detalhamento ficaria muito extenso; aqui mostro os resultados numéricos das iterações seguintes, o que já é prática comum em provas quando você demonstra claramente as primeiras iterações e depois tabula/enumera os resultados):
k = 5 → k = 6: \,x^{(6)}\approx(1,337082,\,-2,118696,\,0,704982)\,.
k = 6 → k = 7: \,x^{(7)}\approx(1,3298462,\,-2,12642,\,0,709969)\,.
k = 7 → k = 8: \,x^{(8)}\approx(1,3342069,\,-2,12397544,\,0,70770062)\,.
k = 8 → k = 9: \,x^{(9)}\approx(1,332757782,\,-2,125301256,\,0,708625602)\,.
k = 9 → k = 10: \,x^{(10)}\approx(1,3335131882,\,-2,124826436,\,0,708215527)\,.
Comentário didático: você vê oscilações decrescentes em torno da solução; o método Jacobi converge, mas de forma mais lenta que Gauss–Seidel (próximo passo mostramos isso).]

Passo 5

Método de Gauss–Seidel — fórmulas e explicação
As mesmas equações isoladas valem, mas na iteração k usamos imediatamente os valores já calculados mais recentes:
\begin{aligned} x_{1}^{(k+1)} &= 0,2 - 0,5\,x_{2}^{(k)} + 0,1\,x_{3}^{(k)},\\[6pt] x_{2}^{(k+1)} &= -2 - 0,2\,x_{1}^{(k+1)} + 0,2\,x_{3}^{(k)},\\[6pt] x_{3}^{(k+1)} &= 1 + 0,1\,x_{1}^{(k+1)} + 0,2\,x_{2}^{(k+1)}. \end{aligned}
Vamos iterar a partir de x^{(0)}=(0,0,0) e mostrar as primeiras iterações detalhadas (GS costuma convergir mais rápido):
k = 0 → k = 1:
\begin{aligned} x_{1}^{(1)} &= 0,2 -0,5\cdot 0 +0,1\cdot 0 = 0,2,\\[4pt] x_{2}^{(1)} &= -2 -0,2(0,2) +0,2(0) = -2 -0,04 = -2,04,\\[4pt] x_{3}^{(1)} &= 1 +0,1(0,2) +0,2(-2,04) = 1 +0,02 -0,408 = 0,612. \end{aligned}
k = 1 → k = 2:
\begin{aligned} x_{1}^{(2)} &= 0,2 -0,5(-2,04) +0,1(0,612)=0,2 +1,02 +0,0612 = 1,2812,\\[4pt] x_{2}^{(2)} &= -2 -0,2(1,2812) +0,2(0,612)= -2 -0,25624 +0,1224 = -2,13384,\\[4pt] x_{3}^{(2)} &= 1 +0,1(1,2812) +0,2(-2,13384)=1 +0,12812 -0,426768 = 0,701352. \end{aligned}
k = 2 → k = 3:
\begin{aligned} x_{1}^{(3)} &= 0,2 -0,5(-2,13384) +0,1(0,701352)=0,2 +1,06692 +0,0701352 = 1,3370552,\\[4pt] x_{2}^{(3)} &= -2 -0,2(1,3370552) +0,2(0,701352)= -2 -0,26741104 +0,1402704 = -2,12714064,\\[4pt] x_{3}^{(3)} &= 1 +0,1(1,3370552) +0,2(-2,12714064)=1 +0,13370552 -0,425428128 = 0,708277392. \end{aligned}
k = 3 → k = 4:
\begin{aligned} x_{1}^{(4)} &= 0,2 -0,5(-2,12714064) +0,1(0,708277392)=0,2 +1,06357032 +0,0708277392 = 1,3343980592,\\[4pt] x_{2}^{(4)} &= -2 -0,2(1,3343980592) +0,2(0,708277392) = -2 -0,26687961184 +0,1416554784 = -2,12522413344,\\[4pt] x_{3}^{(4)} &= 1 +0,1(1,3343980592) +0,2(-2,12522413344) = 1 +0,13343980592 -0,425044826688 = 0,708394979232. \end{aligned}
k = 4 → k = 5:
\begin{aligned} x_{1}^{(5)} &= 0,2 -0,5(-2,12522413344) +0,1(0,708394979232) \approx 1,3334515646432,\\[4pt] x_{2}^{(5)} &= -2 -0,2(1,3334515646432) +0,2(0,708394979232) \approx -2,12501131708224,\\[4pt] x_{3}^{(5)} &= 1 +0,1(1,3334515646432) +0,2(-2,12501131708224) \approx 0,708342893047872. \end{aligned}
Comentário: em apenas 5 iterações o Gauss–Seidel já está muito próximo da solução exata; isso mostra por que GS costuma convergir mais rápido que Jacobi quando há dominância diagonal.]

Passo 6

Comparação final e conclusão didática:
  • Fizemos uma etapa inicial importante: permutação das equações para obter dominância diagonal estrita (isso é uma estratégia típica em provas e em programas numéricos quando se quer garantir boa convergência).
  • Demonstrei as fórmulas de iteração de Jacobi e Gauss–Seidel (com explicação de como usar valores antigos/novos).
  • Mostrei iterações numéricas com todas as contas explicadas nas primeiras iterações; enumerei os resultados posteriores até um bom nível de aproximação.
  • Observação prática: se você precisa de uma aproximação com tolerância, pare quando a norma da diferença entre iterações consecutivas ficar abaixo da tolerância pedida (por exemplo, \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<10^{-4}). Aqui, Gauss–Seidel alcança erro pequeno em menos iterações que Jacobi.

Resposta

Jacobi (após 10 iterações, aproximação): \,(1,333513,\,-2,124826,\,0,708216)\n
Gauss–Seidel (após 5 iterações, aproximação): \,(1,333452,\,-2,125011,\,0,708343)

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