Utilize estratégias para que os sistemas abaixo possam ser resolvidos pelos Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel: \left\{\begin{array}{l}x_{1}+0,5 x_{2}-0,1 x_{3}=0,2 \\\\ --0,1 x_{1}-0,2 x_{2}+x_{3}=1 \\\\ 0,2 x_{1}+x_{2}-0,2 x_{3}=-2\end{array}\right.
O que nos é pedido: aplicar estratégias para que o sistema possa ser resolvido pelos Métodos Iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel e, em seguida, executar as iterações (obter aproximações para x_{1},x_{2},x_{3}).
Informações dadas: coeficientes das equações e termos independentes (veja o sistema acima).
Observação importante (retirada diretamente do enunciado): as entradas numéricas foram tomadas da expressão que você enviou.
Passo 2
Estratégia principal (motivação): os métodos de Jacobi e Gauss–Seidel convergem com mais segurança quando a matriz do sistema tem diagonal dominante por linhas (ou outras condições que garantam convergência). Vamos verificar a dominância e, se necessário, reorganizar as equações (permuta de linhas) para obter dominância estrita na diagonal. Isso é permitido porque trocar ordens das equações não altera a solução do sistema.
Tática simples: trocar as linhas 2 e 3. Fiz a permuta (peguei a informação das equações originais e apenas troquei as equações 2 e 3). O sistema reorganizado fica:
linha 1: 1>0,6\],
- linha 2: \(1>0,2+0,2=0,4,
- linha 3: 1>0,1+0,2=0,3.
Ter dominância diagonal estrita garante convergência dos métodos iterativos (Jacobi e Gauss–Seidel) para a solução exata do sistema.]
Passo 3
Apresentando as fórmulas iterativas (fórmula prática que você vai usar na prova). Para cada equação isolamos a incógnita do respectivo índice na diagonal.
Em Jacobi, ao calcular as novas aproximações x_{i}^{(k+1)} usamos sempre os valores da iteração anterior x^{(k)} para todas as outras variáveis.
Em Gauss–Seidel, ao calcular x_{i}^{(k+1)} usamos os valores já atualizados x_{1}^{(k+1)},\dots,x_{i-1}^{(k+1)} e para as variáveis ainda não atualizadas usamos x_{j}^{(k)}.
Escolha do chute inicial: vamos usar o chute padrão \,x^{(0)}=(0,0,0)\, (é simples e bastante usado em provas).]
Passo 4
Metodo de Jacobi — fórmulas explícitas das iterações
Continuei as iterações até a décima iteração (escrever todas com mesmo detalhamento ficaria muito extenso; aqui mostro os resultados numéricos das iterações seguintes, o que já é prática comum em provas quando você demonstra claramente as primeiras iterações e depois tabula/enumera os resultados):
k = 5 → k = 6: \,x^{(6)}\approx(1,337082,\,-2,118696,\,0,704982)\,.
k = 6 → k = 7: \,x^{(7)}\approx(1,3298462,\,-2,12642,\,0,709969)\,.
k = 7 → k = 8: \,x^{(8)}\approx(1,3342069,\,-2,12397544,\,0,70770062)\,.
k = 8 → k = 9: \,x^{(9)}\approx(1,332757782,\,-2,125301256,\,0,708625602)\,.
k = 9 → k = 10: \,x^{(10)}\approx(1,3335131882,\,-2,124826436,\,0,708215527)\,.
Comentário didático: você vê oscilações decrescentes em torno da solução; o método Jacobi converge, mas de forma mais lenta que Gauss–Seidel (próximo passo mostramos isso).]
Passo 5
Método de Gauss–Seidel — fórmulas e explicação
As mesmas equações isoladas valem, mas na iteração k usamos imediatamente os valores já calculados mais recentes:
Comentário: em apenas 5 iterações o Gauss–Seidel já está muito próximo da solução exata; isso mostra por que GS costuma convergir mais rápido que Jacobi quando há dominância diagonal.]
Passo 6
Comparação final e conclusão didática:
Fizemos uma etapa inicial importante: permutação das equações para obter dominância diagonal estrita (isso é uma estratégia típica em provas e em programas numéricos quando se quer garantir boa convergência).
Demonstrei as fórmulas de iteração de Jacobi e Gauss–Seidel (com explicação de como usar valores antigos/novos).
Mostrei iterações numéricas com todas as contas explicadas nas primeiras iterações; enumerei os resultados posteriores até um bom nível de aproximação.
Observação prática: se você precisa de uma aproximação com tolerância, pare quando a norma da diferença entre iterações consecutivas ficar abaixo da tolerância pedida (por exemplo, \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<10^{-4}). Aqui, Gauss–Seidel alcança erro pequeno em menos iterações que Jacobi.