Utilize estratégias para que os sistemas abaixo possam ser resolvidos pelos Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel: \left\{\begin{array}{c}-4 x_{1}+10 x_{2}=19 \\\\ 5 x_{1}+3 x_{2}=15\end{array}\right.
O pedido: utilizar estratégias para que o sistema possa ser resolvido pelos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel. Ou seja:
escrever as fórmulas iterativas adequadas (forma x = Bx + c) para cada método;
garantir/justificar que as fórmulas convergem (estratégia usada);
mostrar iterações ilustrativas até vermos aproximação da solução.
Informações relevantes dadas no enunciado:
As duas equações lineares acima (já listadas).
Não foi dada ordem de variáveis nem forma iterativa: podemos escolher uma estratégia de isolamento das variáveis para obter coeficientes favoráveis à convergência.]
Passo 2
Breve aula: ideia dos métodos de Jacobi e de Gauss–Seidel (o que são as fórmulas e o que significam as letras).\n
Considere um sistema linear \,Ax=b\, com A\in\mathbb{R}^{n\times n}, x incógnitas e b constante. Escrevemos A=D+L+U, onde:
onde B_{\text{J}}=-D^{-1}(L+U) e c_{\text{J}}=D^{-1}b. Converge se o raio espectral \rho(B_{\text{J}})<1. Um critério prático suficiente para garantir \rho(B)<1 é a dominância diagonal estrita (outras condições também existem).
Método de Gauss–Seidel: usa os valores já atualizados dentro da mesma iteração:
x^{(k+1)}=(D+L)^{-1}\big(b - U x^{(k)}\big),
ou seja
x^{(k+1)}=B_{\text{GS}}\,x^{(k)}+c_{\text{GS}},
com B_{\text{GS}}=-(D+L)^{-1}U. Normalmente converge mais rápido que Jacobi quando ambos convergem.
Explicação das variáveis:
x^{(k)} é o vetor de aproximação na iteração k.
B é a matriz de iteração (depende de como isolamos as variáveis).
c é o termo constante resultante de D^{-1}b ou (D+L)^{-1}b.
Passo 3
Análise direta da forma padrão e observação sobre dominância diagonal.\n
A matriz do sistema é
Ou seja, na ordenação original o sistema não é diagonalmente dominante; portanto não podemos garantir convergência apenas por esse critério. Precisamos então escolher uma estratégia de isolamento das incógnitas que gere uma matriz de iteração com coeficientes adequados (norma pequena / raio espectral < 1).]
Passo 4
Estratégia e escolha concreta de isolamento (por quê e como).\n
Queremos escrever iterações com coeficientes na forma [x_i = \alpha_i + \sum_{j\neq i}\beta_{ij} x_j) em que os \beta_{ij} tenham módulo pequeno. Observando as equações, uma escolha conveniente é:
isolar x_{1} na segunda equação (coeficiente 5 é razoável), e
isolar x_{2} na primeira equação (coeficiente 10 é grande, mas ao isolar x_{2} obtemos coeficiente de x_{1} menor em módulo).
Fazendo isso:
Da segunda equação 5x_{1}+3x_{2}=15 temos
x_{1}=\;3 - 0{,}6\,x_{2}.
Da primeira equação -4x_{1}+10x_{2}=19 temos
x_{2}=1{,}9 + 0{,}4\,x_{1}.
Estas duas expressões formam o sistema iterativo (forma natural para Jacobi): para cada k,
Em forma matricial (x{(k+1)}=B_{\text{J}}x{(k)}+c_{J}], com B_{\text{J}}=\begin{pmatrix}0 & -0{,}6\\[4pt]0{,}4 & 0\end{pmatrix},\qquad c_{\text{J}}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1{,}9\end{pmatrix}.]
Passo 5
Verificação da convergência para Jacobi (raio espectral) e breve explicação.\n
Para matrizes da forma B=\begin{pmatrix}0 & a\\[4pt] b & 0\end{pmatrix} as autovalores são \lambda=\pm\sqrt{ab}. Aqui a=-0{,}6 e b=0{,}4, então
ab = -0{,}24,\qquad \lambda = \pm\sqrt{-0{,}24}=\pm i\sqrt{0{,}24}.
O módulo (valor absoluto) dos autovalores é
|\lambda|=\sqrt{0{,}24}\approx 0{,}4899<1.
Portanto \rho(B_{\text{J}})=\sqrt{0{,}24}\approx 0{,}4899<1, o que garante convergência do método de Jacobi para qualquer chute inicial. Observação pedagógica: embora os autovalores sejam imaginários (iterações oscilam), o módulo menor que 1 faz com que as oscilações diminuam e a sequência convirja.]
Passo 6
Iterações do método de Jacobi (cálculo passo a passo, chute inicial (0,0)).\n
Escolho x^{(0)}=(0,0). Aplicando as fórmulas do Passo 4:
Continuando, as iterações oscilam decrescendo em amplitude e aproximam-se de (1{,}5,\;2{,}5) (veremos a solução exacta no Passo 8). Isso confirma a convergência do Jacobi com a forma escolhida.
Passo 7
Fórmulas e iterações do método de Gauss–Seidel (explicação do porquê é mais rápido).\n
No Gauss–Seidel, ao calcular x_{2}^{(k+1)}\) usamos o valor atualizado \(x_{1}^{(k+1)}\). Usando o mesmo isolamento do Passo 4:
\[\begin{cases} x_{1}^{(k+1)} = 3 - 0{,}6\,x_{2}^{(k)},\\[4pt] x_{2}^{(k+1)} = 1{,}9 + 0{,}4\,x_{1}^{(k+1)}. \end{cases}
Observe que a única diferença do Jacobi é que, no segundo membro, usamos x_{1}^{(k+1)}\] em vez de \(x_{1}^{(k)}.
Após poucas iterações já estamos muito próximos da solução exata; portanto Gauss–Seidel converge mais rápido que Jacobi aqui, como era de se esperar.]
Passo 8
Cálculo da solução exata por eliminação (para comparar e saber o alvo das iterações).\n
Podemos resolver o sistema exatamente por eliminação: multiplico a equação (2) por 4 e a equação (1) por 5 para eliminar x_{1}: