Utilize estratégias para que os sistemas abaixo possam ser resolvidos pelos Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel:
\left\{\begin{array}{c}-4 x_{1}+10 x_{2}=19 \\\\ 5 x_{1}+3 x_{2}=15\end{array}\right.

Passo 1

Enunciado e o que se pede.\n
O sistema dado é
\begin{cases} -4x_{1} + 10x_{2} = 19,\\[4pt] 5x_{1} + 3x_{2} = 15. \end{cases}
O pedido: utilizar estratégias para que o sistema possa ser resolvido pelos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel. Ou seja:
  • escrever as fórmulas iterativas adequadas (forma x = Bx + c) para cada método;
  • garantir/justificar que as fórmulas convergem (estratégia usada);
  • mostrar iterações ilustrativas até vermos aproximação da solução.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • As duas equações lineares acima (já listadas).
  • Não foi dada ordem de variáveis nem forma iterativa: podemos escolher uma estratégia de isolamento das variáveis para obter coeficientes favoráveis à convergência.]

Passo 2

Breve aula: ideia dos métodos de Jacobi e de Gauss–Seidel (o que são as fórmulas e o que significam as letras).\n
Considere um sistema linear \,Ax=b\, com A\in\mathbb{R}^{n\times n}, x incógnitas e b constante. Escrevemos A=D+L+U, onde:
D=\text{matriz diagonal de }A,\qquad L=\text{parte estritamente triangular inferior},\qquad U=\text{parte estritamente triangular superior}.
  • Método de Jacobi: a iteração é
x^{(k+1)}=D^{-1}\big(b-(L+U)x^{(k)}\big).
Isto é da forma
x^{(k+1)}=B_{\text{J}}\,x^{(k)}+c_{\text{J}},
onde B_{\text{J}}=-D^{-1}(L+U) e c_{\text{J}}=D^{-1}b. Converge se o raio espectral \rho(B_{\text{J}})<1. Um critério prático suficiente para garantir \rho(B)<1 é a dominância diagonal estrita (outras condições também existem).
  • Método de Gauss–Seidel: usa os valores já atualizados dentro da mesma iteração:
x^{(k+1)}=(D+L)^{-1}\big(b - U x^{(k)}\big),
ou seja
x^{(k+1)}=B_{\text{GS}}\,x^{(k)}+c_{\text{GS}},
com B_{\text{GS}}=-(D+L)^{-1}U. Normalmente converge mais rápido que Jacobi quando ambos convergem.
Explicação das variáveis:
  • x^{(k)} é o vetor de aproximação na iteração k.
  • B é a matriz de iteração (depende de como isolamos as variáveis).
  • c é o termo constante resultante de D^{-1}b ou (D+L)^{-1}b.

Passo 3

Análise direta da forma padrão e observação sobre dominância diagonal.\n
A matriz do sistema é
A=\begin{pmatrix}-4 & 10\\[4pt]5 & 3\end{pmatrix}.
Checamos dominância diagonal por linha:
\text{linha 1: }|-4| \stackrel{?}{>} |10|\quad\Rightarrow\quad 4 \not> 10,
\text{linha 2: }|3| \stackrel{?}{>} |5|\quad\Rightarrow\quad 3 \not> 5.
Ou seja, na ordenação original o sistema não é diagonalmente dominante; portanto não podemos garantir convergência apenas por esse critério. Precisamos então escolher uma estratégia de isolamento das incógnitas que gere uma matriz de iteração com coeficientes adequados (norma pequena / raio espectral < 1).]

Passo 4

Estratégia e escolha concreta de isolamento (por quê e como).\n
Queremos escrever iterações com coeficientes na forma [x_i = \alpha_i + \sum_{j\neq i}\beta_{ij} x_j) em que os \beta_{ij} tenham módulo pequeno. Observando as equações, uma escolha conveniente é:
  • isolar x_{1} na segunda equação (coeficiente 5 é razoável), e
  • isolar x_{2} na primeira equação (coeficiente 10 é grande, mas ao isolar x_{2} obtemos coeficiente de x_{1} menor em módulo).
Fazendo isso:
Da segunda equação 5x_{1}+3x_{2}=15 temos
x_{1}=\;3 - 0{,}6\,x_{2}.
Da primeira equação -4x_{1}+10x_{2}=19 temos
x_{2}=1{,}9 + 0{,}4\,x_{1}.
Estas duas expressões formam o sistema iterativo (forma natural para Jacobi): para cada k,
\begin{cases} x_{1}^{(k+1)} = 3 - 0{,}6\,x_{2}^{(k)},\\[4pt] x_{2}^{(k+1)} = 1{,}9 + 0{,}4\,x_{1}^{(k)}. \end{cases}
Em forma matricial (x{(k+1)}=B_{\text{J}}x{(k)}+c_{J}], com
B_{\text{J}}=\begin{pmatrix}0 & -0{,}6\\[4pt]0{,}4 & 0\end{pmatrix},\qquad c_{\text{J}}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1{,}9\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação da convergência para Jacobi (raio espectral) e breve explicação.\n
Para matrizes da forma B=\begin{pmatrix}0 & a\\[4pt] b & 0\end{pmatrix} as autovalores são \lambda=\pm\sqrt{ab}. Aqui a=-0{,}6 e b=0{,}4, então
ab = -0{,}24,\qquad \lambda = \pm\sqrt{-0{,}24}=\pm i\sqrt{0{,}24}.
O módulo (valor absoluto) dos autovalores é
|\lambda|=\sqrt{0{,}24}\approx 0{,}4899<1.
Portanto \rho(B_{\text{J}})=\sqrt{0{,}24}\approx 0{,}4899<1, o que garante convergência do método de Jacobi para qualquer chute inicial. Observação pedagógica: embora os autovalores sejam imaginários (iterações oscilam), o módulo menor que 1 faz com que as oscilações diminuam e a sequência convirja.]

Passo 6

Iterações do método de Jacobi (cálculo passo a passo, chute inicial (0,0)).\n
Escolho x^{(0)}=(0,0). Aplicando as fórmulas do Passo 4:
k=0:
x_{1}^{(1)}=3-0{,}6\cdot 0=3,\qquad x_{2}^{(1)}=1{,}9+0{,}4\cdot 0=1{,}9.
Então x^{(1)}=(3,\;1{,}9).
k=1:
x_{1}^{(2)}=3-0{,}6\cdot 1{,}9=3-1{,}14=1{,}86,
x_{2}^{(2)}=1{,}9+0{,}4\cdot 3=1{,}9+1{,}2=3{,}1.
Então x^{(2)}=(1{,}86,\;3{,}1).
k=2:
x_{1}^{(3)}=3-0{,}6\cdot 3{,}1=3-1{,}86=1{,}14,
x_{2}^{(3)}=1{,}9+0{,}4\cdot 1{,}86=1{,}9+0{,}744=2{,}644.
Então x^{(3)}=(1{,}14,\;2{,}644).
k=3:
x_{1}^{(4)}=3-0{,}6\cdot 2{,}644=3-1{,}5864=1{,}4136,
x_{2}^{(4)}=1{,}9+0{,}4\cdot 1{,}14=1{,}9+0{,}456=2{,}356.
Então x^{(4)}=(1{,}4136,\;2{,}356).
k=4:
x_{1}^{(5)}=3-0{,}6\cdot 2{,}356=1{,}5864,\qquad x_{2}^{(5)}=1{,}9+0{,}4\cdot 1{,}4136=2{,}46544.
Então x^{(5)}\approx(1{,}5864,\;2{,}46544).
Continuando, as iterações oscilam decrescendo em amplitude e aproximam-se de (1{,}5,\;2{,}5) (veremos a solução exacta no Passo 8). Isso confirma a convergência do Jacobi com a forma escolhida.

Passo 7

Fórmulas e iterações do método de Gauss–Seidel (explicação do porquê é mais rápido).\n
No Gauss–Seidel, ao calcular x_{2}^{(k+1)}\) usamos o valor atualizado \(x_{1}^{(k+1)}\). Usando o mesmo isolamento do Passo 4: \[\begin{cases} x_{1}^{(k+1)} = 3 - 0{,}6\,x_{2}^{(k)},\\[4pt] x_{2}^{(k+1)} = 1{,}9 + 0{,}4\,x_{1}^{(k+1)}. \end{cases}
Observe que a única diferença do Jacobi é que, no segundo membro, usamos x_{1}^{(k+1)}\] em vez de \(x_{1}^{(k)}.
Começando em x^{(0)}=(0,0):
k=0:
x_{1}^{(1)}=3-0{,}6\cdot0=3,
x_{2}^{(1)}=1{,}9+0{,}4\cdot 3=3{,}1,
logo x^{(1)}=(3,\;3{,}1).
k=1:
x_{1}^{(2)}=3-0{,}6\cdot 3{,}1=1{,}14,
x_{2}^{(2)}=1{,}9+0{,}4\cdot 1{,}14=2{,}356,
logo x^{(2)}=(1{,}14,\;2{,}356).
k=2:
x_{1}^{(3)}=3-0{,}6\cdot 2{,}356=1{,}5864,
x_{2}^{(3)}=1{,}9+0{,}4\cdot 1{,}5864=2{,}53456,
logo x^{(3)}=(1{,}5864,\;2{,}53456).
k=3:
x_{1}^{(4)}=3-0{,}6\cdot 2{,}53456=1{,}479264,
x_{2}^{(4)}=1{,}9+0{,}4\cdot 1{,}479264=2{,}4917056.
Após poucas iterações já estamos muito próximos da solução exata; portanto Gauss–Seidel converge mais rápido que Jacobi aqui, como era de se esperar.]

Passo 8

Cálculo da solução exata por eliminação (para comparar e saber o alvo das iterações).\n
Podemos resolver o sistema exatamente por eliminação: multiplico a equação (2) por 4 e a equação (1) por 5 para eliminar x_{1}:
\begin{array}{r} 4\cdot(5x_{1}+3x_{2}=15)\Rightarrow 20x_{1}+12x_{2}=60,\\[4pt] 5\cdot(-4x_{1}+10x_{2}=19)\Rightarrow -20x_{1}+50x_{2}=95. \end{array}
Somando:
62x_{2}=155\quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{155}{62}=\frac{31\cdot5}{31\cdot2}=\frac{5}{2}=2{,}5.
Substituindo em 5x_{1}+3x_{2}=15:
5x_{1}+3\cdot 2{,}5=15\quad\Rightarrow\quad 5x_{1}+7{,}5=15\quad\Rightarrow\quad 5x_{1}=7{,}5,
x_{1}= \frac{7{,}5}{5}=1{,}5.
Portanto a solução exata é x_{1}=1{,}5,\; x_{2}=2{,}5. As iterações anteriores aproximam-se desse valor.]

Resposta

x_{1}=1{,}5
x_{2}=2{,}5

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