Utilize o estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões:
|x^wed>= 2+x-6|

Passo 1

A questão pede para a gente eliminar o módulo de $ |x^2 + x - 6| $ usando o estudo de sinais de uma função quadrática. O conteúdo é estudo de sinais de polinômios e vamos precisar fatorar a expressão, encontrar as raízes e montar o quadro de sinais.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o polinômio x^2 + x - 6. Estamos procurando dois números cuja soma seja +1 (coeficiente de x) e produto seja -6. Esses números são +3 e -2. Portanto,
x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)

Passo 3

As raízes do polinômio ocorrem quando cada fator zera. Então temos as raízes x = -3 e x = 2. Como o coeficiente do termo x^2 é positivo, a parábola abre para cima.

Passo 4

Agora montamos o estudo de sinais de (x + 3)(x - 2). Entre as raízes (intervalo -3,2), cada fator tem sinais opostos, logo o produto é negativo. Fora desse intervalo, os dois fatores têm mesmo sinal, logo o produto é positivo.

Passo 5

Com o sinal do polinômio em mãos, eliminamos o módulo. Quando x^2 + x - 6 for não negativo ( x <= -3 ou x >= 2), temos |x^2 + x - 6| = x^2 + x - 6. Quando for negativo ( -3 < x < 2), invertemos o sinal: |x^2 + x - 6| = -(x^2 + x - 6).

Resposta

|x^2 + x - 6| = x^2 + x - 6, & x <= -3 -(x^2 + x - 6), & -3 < x < 2 x^2 + x - 6, & x >= 2

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