Utilize o exercício anterior para mostrar que a integral de linha
integralC y d x+x d y+x y z d z
não é independente do caminho.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de linha
integralC y,dx + x,dy + x y z,dz
não é independente do caminho. Isso significa que o campo vetorial
F(x,y,z) = l(P,Q,Rr) = l(y,;x,;x y zr)
não é conservativo. Para demonstrar isso, vamos usar dois argumentos clássicos: (i) o teste do rotacional e (ii) um contra-exemplo com duas curvas que ligam os mesmos pontos e dão resultados diferentes.

Passo 2

Aplicamos o critério do rotacional para verificar se F é conservativo. Em coordenadas cartesianas:
nabla times F = partial Rpartial y - partial Qpartial z [6pt] partial Ppartial z - partial Rpartial x [6pt] partial Qpartial x - partial Ppartial y
Calculando cada componente:
partial Rpartial y = partial (x y z)partial y = xz, partial Qpartial z = partial xpartial z = 0,
partial Ppartial z = partial ypartial z = 0, partial Rpartial x = partial (x y z)partial x = yz,
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1, partial Ppartial y = partial ypartial y = 1
Logo
nabla times F = xz - 0 [4pt] 0 - yz [4pt] 1 - 1 = xz [4pt] -,yz [4pt] 0
Como nablatimesFneq0 (por exemplo, quando x,zneq0), o campo não é conservativo e, portanto, a integral depende do caminho.]

Passo 3

Para reforçar, vamos apresentar um contra-exemplo explícito. Considere dois caminhos de A=(0,0,0) a B=(1,1,1):
Curva C1 (reta):
x(t)=t, y(t)=t, z(t)=t, tin[0,1]
Então dx=dt, dy=dt, dz=dt, e o integrando é
y,dx + x,dy + x y z,dz = t,dt + t,dt + tcdot tcdot t,dt = 2t + t^3,
Logo
integralC1y,dx + x,dy + x y z,dz = integral0^1l(2t + t^3r),dt = l[t^2 + tfract^44r]0^1 = 1 + tfrac14 = tfrac54

Passo 4

Curva C2 (peças em dois trechos):
  • Primeiro trecho C2a: de (0,0,0) a (1,0,0) ao longo do eixo x.
    x(s)=s,;y(s)=0,;z(s)=0,;sin[0,1],
    daí dx=ds, dy=dz=0. Então o integrando é zero e
    integralC2a = 0
  • Segundo trecho C2b: de (1,0,0) a (1,1,1) com
    x(u)=1,;y(u)=u,;z(u)=u,;uin[0,1],
    daí dx=0, dy=du, dz=du. O integrando fica
    y,dx + x,dy + x y z,dz = 0 + 1cdot du + (1)cdot ucdot u,du = 1 + u^2
    Então
    integralC2b l(1 + u^2r),du = l[u + tfracu^33r]0^1 = 1 + tfrac13 = tfrac43
Somando os dois trechos:
integralC2 = integralC2a + integralC2b = 0 + tfrac43 = tfrac43

Resposta

Os valores são diferentes:
integralC1 = tfrac54 e integralC2 = tfrac43,
logo a integral de linha não é independente do caminho.

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