Utilize o exercício anterior para mostrar que a integral de linha
não é independente do caminho.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral de linha
não é independente do caminho. Isso significa que o campo vetorial
não é conservativo. Para demonstrar isso, vamos usar dois argumentos clássicos: (i) o teste do rotacional e (ii) um contra-exemplo com duas curvas que ligam os mesmos pontos e dão resultados diferentes.
Passo 2
Aplicamos o critério do rotacional para verificar se é conservativo. Em coordenadas cartesianas:
Calculando cada componente:
partial Rpartial y = partial (x y z)partial y = xz, partial Qpartial z = partial xpartial z = 0,
partial Ppartial z = partial ypartial z = 0, partial Rpartial x = partial (x y z)partial x = yz,
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1, partial Ppartial y = partial ypartial y = 1
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nabla times F = xz - 0 [4pt] 0 - yz [4pt] 1 - 1 = xz [4pt] -,yz [4pt] 0
Como nablatimesFneq0 (por exemplo, quando x,zneq0), o campo não é conservativo e, portanto, a integral depende do caminho.]
Passo 3
Para reforçar, vamos apresentar um contra-exemplo explícito. Considere dois caminhos de A=(0,0,0) a B=(1,1,1):
Curva C1 (reta):
x(t)=t, y(t)=t, z(t)=t, tin[0,1]
Então dx=dt, dy=dt, dz=dt, e o integrando é
y,dx + x,dy + x y z,dz = t,dt + t,dt + tcdot tcdot t,dt = 2t + t^3,