Mostre que
\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{h}-\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{s}=-\frac{v}{c_{p}}

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que
\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{h}-\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{s}=-\frac{v}{c_{p}}.
Informações e definições relevantes (que usaremos):
  • T é a temperatura, P a pressão, h a entalpia específica, s a entropia específica e v o volume específico.
  • A capacidade térmica a pressão constante é definida por
c_{p}=T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{P}.
  • A diferencial exata da entalpia (relação de Gibbs para entalpia) vale
\mathrm{d}h=T\,\mathrm{d}s+v\,\mathrm{d}P,
que é uma identidade termodinâmica padrão (pode ser obtida de h=u+Pv e da primeira lei \mathrm{d}u=T\,\mathrm{d}s-P\,\mathrm{d}v).
Não vou resolver aqui; só listei o que o problema pede e as relações que são relevantes.

Passo 2

Expressar \mathrm{d}T em função de variáveis naturais s e P. Como T=T(s,P), o diferencial total é
\mathrm{d}T=\left(\frac{\partial T}{\partial s}\right)_{P}\mathrm{d}s+\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{s}\mathrm{d}P.
Isto é a regra da cadeia para função de duas variáveis: variação de T por variações de s e P.

Passo 3

Agora considerar um processo em que h é mantido constante. Se h= const então \mathrm{d}h=0. Usando a identidade da entalpia:
0=\mathrm{d}h=T\,\mathrm{d}s+v\,\mathrm{d}P.
Dessa igualdade segue a relação entre \mathrm{d}s e \mathrm{d}P no processo h= const:
\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}P}\right)_{h}=-\frac{v}{T}.
(Explicando: isolou-se \mathrm{d}s e dividiu-se por \mathrm{d}P mantendo h fixo.)

Passo 4

Substituir \mathrm{d}s obtido no Passo 3 na expressão para \mathrm{d}T do Passo 2, e olhar a variação de T por P sob a condição h= const. Para h= const temos
\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{h} = \left(\frac{\partial T}{\partial s}\right)_{P}\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}P}\right)_{h} +\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{s}.
Substituindo \left(\dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}P}\right)_{h}=-\dfrac{v}{T} obtemos
\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{h} = \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{s} -\frac{v}{T}\left(\frac{\partial T}{\partial s}\right)_{P}.
Reorganizando,
\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{h}-\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{s} =-\frac{v}{T}\left(\frac{\partial T}{\partial s}\right)_{P}.

Passo 5

Calcular \left(\dfrac{\partial T}{\partial s}\right)_{P} usando a definição de c_{p}. Da definição
c_{p}=T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{P}
segue, invertendo a derivada (mantendo P constante),
\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{P}=\frac{c_{p}}{T} \quad\Longrightarrow\quad \left(\frac{\partial T}{\partial s}\right)_{P}=\frac{T}{c_{p}}.
(Observação: trata-se da inversa da derivada parcial s(T) para P fixo.)

Passo 6

Substituir \left(\dfrac{\partial T}{\partial s}\right)_{P}=\dfrac{T}{c_{p}} na expressão do Passo 4:
\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{h}-\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{s} =-\frac{v}{T}\cdot\frac{T}{c_{p}} =-\frac{v}{c_{p}}.

Resposta

-\dfrac{v}{c_{p}}

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