Mostre que
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que
Informações e definições relevantes (que usaremos):
-
é a temperatura, a pressão, a entalpia específica, a entropia específica e o volume específico. - A capacidade térmica a pressão constante é definida por
- A diferencial exata da entalpia (relação de Gibbs para entalpia) vale
que é uma identidade termodinâmica padrão (pode ser obtida de
e da primeira lei
).
Não vou resolver aqui; só listei o que o problema pede e as relações que são relevantes.
Passo 2
Expressar
em função de variáveis naturais
e
. Como
, o diferencial total é
Isto é a regra da cadeia para função de duas variáveis: variação de
por variações de
e
.
Passo 3
Agora considerar um processo em que
é mantido constante. Se
const então
. Usando a identidade da entalpia:
Dessa igualdade segue a relação entre
e
no processo
const:
(Explicando: isolou-se
e dividiu-se por
mantendo
fixo.)
Passo 4
Substituir
obtido no Passo 3 na expressão para
do Passo 2, e olhar a variação de
por
sob a condição
const. Para
const temos
Substituindo
obtemos
Reorganizando,
Passo 5
Calcular
usando a definição de
. Da definição
segue, invertendo a derivada (mantendo
constante),
(Observação: trata-se da inversa da derivada parcial
para
fixo.)
Passo 6
Substituir
na expressão do Passo 4: