Utilize a fórmula alternativa abaixo para determinar o vetor normal unitário principal N(t) para cada função vetorial r(t) indicada:
N(t)=(v cdot v) a-(v cdot a) v|(v cdot v) a-(v cdot a) v|
onde v=r^prime(t) é a velocidade e a=v^prime(t)=r^"(t) é a aceleração.
r(t)=3 t i+2 t^2 j

Passo 1

O enunciado pede para calcular o vetor normal unitário principal N(t) de
r(t)=3t,i+2t^2,j
usando a fórmula alternativa para curvas no plano. Vamos precisar de v(t)=r'(t), de a(t)=v'(t) e dos produtos escalares vcdotv e vcdota.

Passo 2

Calcular a velocidade e a aceleração:
v(t)=r'(t)=3,i+4t,j,
a(t)=v'(t)=0,i+4,j=4,j

Passo 3

Obter os produtos escalares:
vcdotv=3^2+(4t)^2=9+16t^2,
vcdota=3cdot0+(4t)cdot4=16t

Passo 4

Formar o numerador (vcdotv)a-(vcdota)v:
(9+16t^2),4,j-16t,(3,i+4t,j) =-48t,i+(36+64t^2-64t^2),j =-48t,i+36,j

Passo 5

Calcular a norma desse vetor:
|-48t,i+36,j| =raiz(-48t)^2+36^2 =raiz2304t^2+1296 =12raiz16t^2+9

Passo 6

Dividir o numerador pela sua norma e simplificar:
N(t) =-48t,i+36,j12raiz16t^2+9 =-4t,i+3,jraiz16t^2+9

Resposta

N(t)=-4t,i+3,jraiz16t^2+9

Exercícios relacionados