Utilize a fórmula alternativa abaixo para determinar o vetor normal unitário principal N(t) para cada função vetorial r(t) indicada:
N(t)=(v cdot v) a-(v cdot a) v|(v cdot v) a-(v cdot a) v|
onde v=r^prime(t) é a velocidade e a=v^prime(t)=r^"(t) é a aceleração.
r(t)=3 cos (2 t) i+3 sin (2 t) j

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=3cos(2t)i+3sin(2t)j
e pede o vetor normal unitário principal N(t) usando a fórmula
N(t)=(vcdotv)a-(vcdota)v|(vcdotv)a-(vcdota)v|
onde v=r'(t) e a=r''(t). Vamos calcular v, a, os produtos internos, montar o numerador, achar sua norma e normalizar.

Passo 2

Calcular a velocidade e a aceleração:
v(t)=r'(t)=-6sin(2t)i+6cos(2t)j,
a(t)=r''(t)=-12cos(2t)i-12sin(2t)j

Passo 3

Avaliar os produtos internos:
vcdotv=(-6sin(2t))^2+(6cos(2t))^2 =36l(sin^2(2t)+cos^2(2t)r)=36,
vcdota=(-6sin(2t))(-12cos(2t)) +(6cos(2t))(-12sin(2t)) =72sin(2t)cos(2t)-72sin(2t)cos(2t)=0

Passo 4

Montar o numerador da fórmula:
(vcdotv)a-(vcdota)v =36,a-0cdotv =36l(-12cos(2t)i-12sin(2t)jr) =-432cos(2t)i-432sin(2t)j

Passo 5

Calcular a norma deste vetor e normalizar:
|,-432cos(2t)i-432sin(2t)j| =432raizcos^2(2t)+sin^2(2t)=432,
então
N(t) =-432cos(2t)i-432sin(2t)j432 =-cos(2t)i-sin(2t)j

Resposta

N(t)=-cos(2t)i-sin(2t)j

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