Utilize a fórmula alternativa abaixo para determinar o vetor normal unitário principal N(t) para cada função vetorial r(t) indicada:
N(t)=(v cdot v) a-(v cdot a) v|(v cdot v) a-(v cdot a) v|
onde v=r^prime(t) é a velocidade e a=v^prime(t)=r^"(t) é a aceleração.
r(t)=2 t i+4 t j+t^2 k

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a fórmula
N(t)=(vcdotv),a-(vcdota),v|(vcdotv),a-(vcdota),v|
na curva r(t)=2t,i+4t,j+t^2,k. Para isso, precisamos achar a velocidade v=r'(t), a aceleração a=r''(t), depois calcular os produtos internos, montar o numerador e, por fim, normalizar.

Passo 2

Calcular v(t) e a(t):
v(t)=r'(t)=lang<= 2,,4,,2trang<=, a(t)=v'(t)=lang<= 0,,0,,2rang<=

Passo 3

Computar os produtos internos:
vcdotv=2^2+4^2+(2t)^2=20+4t^2, vcdota=2cdot0+4cdot0+2tcdot2=4t

Passo 4

Montar o numerador
(20+4t^2),lang<= 0,0,2rang<= ;-;4t,lang<= 2,4,2trang<= =lang<= 0,0,40+8t^2rang<=-lang<= 8t,16t,8t^2rang<= =lang<= -8t,,-16t,,40rang<= =8,lang<= -t,,-2t,,5rang<=

Passo 5

Calcular a norma do numerador
|8,lang<= -t,-2t,5rang<=| =8,raiz(-t)^2+(-2t)^2+5^2 =8,raiz5(t^2+5) =8raiz5,raizt^2+5

Passo 6

Dividindo o numerador pela sua norma obtemos
N(t) =8,lang<= -t,-2t,5rang<=8raiz5,raizt^2+5 =lang<= -t,-2t,5rang<=raiz5,raizt^2+5 =lang<= -t,-2t,5rang<=raiz5(t^2+5)

Resposta

N(t) =lang<= -t,,-2t,,5rang<=raiz5(t^2+5)

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