Utilize a fórmula de curvatura , para encontrar a curvatura

Passo 1

Vamos resumir: recebemos a curva r(t)=t,i+t,j+(1+t^2),k e o objetivo é achar a curvatura usando a fórmula kappa(t)=lvert r'(t)times r''(t)rvertlvert r'(t)rvert^3. O conteúdo aqui é geometria diferencial de curvas, e vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda, o produto vetorial e as respectivas magnitudes.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de r(t). A derivada primeira é
r'(t)=l(1,;1,;2tr) e a derivada segunda é
r''(t)=l(0,;0,;2r)

Passo 3

Agora, fazemos o produto vetorial r'(t)times r''(t). Montando o determinante em notação de componentes, obtemos
r'(t)times r''(t)=l(1,1,2tr)timesl(0,0,2r)=l(2,,-2,,0r)

Passo 4

Em seguida, precisamos das magnitudes. Primeiro,
lvert r'(t)times r''(t)rvert=raiz2^2+(-2)^2+0^2=2raiz2, e também
lvert r'(t)rvert=raiz1^2+1^2+(2t)^2=raiz2+4t^2

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula de curvatura:
kappa(t)=2raiz2l(raiz2+4t^2r)^3=2raiz2(2+4t^2)^3/2

Passo 6

Por fim, notamos que 2+4t^2=2(1+2t^2), então
kappa(t)=2raiz2l(2r)^3/2(1+2t^2)^3/2=2raiz22raiz2,(1+2t^2)^3/2=1(1+2t^2)^3/2

Resposta

kappa(t)=1(1+2t^2)^3/2

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