Determine os vetores tangente e normal unitários
e
, e calcule a curvatura das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para a gente encontrar o vetor tangente unitário T(t), o vetor normal unitário N(t) e a curvatura κ(t) da curva
. Vamos usar conceitos de derivadas de curvas espaço e as fórmulas
,
e
.
Passo 2
Primeiro, derivamos
:
E seu módulo é
Passo 3
O vetor tangente unitário é
Passo 4
Agora, derivamos de novo para obter o vetor aceleração:
Passo 5
Para achar o vetor normal usamos
. Seja
. Aplicando derivada de quociente, obtemos
com
Passo 6
O vetor normal unitário vem de
Isso garante que
tenha módulo 1 e seja ortogonal a
.
Passo 7
Para a curvatura usamos a fórmula
Passo 8
Calculamos o produto vetorial:
e seu módulo:
Passo 9
Finalmente, a curvatura é
Resposta
T(t)=\frac{\langle4,,-2t,,6t2\rangle}{\sqrt{16+4t2+36t^4}}, N(t)=\frac{T’(t)}{|T’(t)|}, \kappa(t)=\frac{4\sqrt{9t4+144t2+4}}{\bigl(16+4t2+36t4\bigr)^{3/2}}