Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t), e calcule a curvatura das seguintes funções:
r(t)=4 t i-t^2 j+2 t^3 k

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar o vetor tangente unitário T(t), o vetor normal unitário N(t) e a curvatura κ(t) da curva r(t)=4t,i-t^2,j+2t^3,k. Vamos usar conceitos de derivadas de curvas espaço e as fórmulas T=r'|r'|, N=T'|T'| e kappa=|r'times r''||r'|^3.

Passo 2

Primeiro, derivamos r(t):
r'(t)=llang<=4,,-2t,,6t^2rrang<=
E seu módulo é
|r'(t)|=raiz16+4t^2+36t^4

Passo 3

O vetor tangente unitário é
T(t)=r'(t)|r'(t)|=lang<=4,,-2t,,6t^2rang<=raiz16+4t^2+36t^4

Passo 4

Agora, derivamos de novo para obter o vetor aceleração:
r''(t)=llang<=0,,-2,,12trrang<=

Passo 5

Para achar o vetor normal usamos T'(t). Seja D(t)=raiz16+4t^2+36t^4. Aplicando derivada de quociente, obtemos
T'(t)=r''(t),D(t)-r'(t),D'(t)D(t)^2
com
D'(t)=4t(1+18t^2)D(t)

Passo 6

O vetor normal unitário vem de
N(t)=T'(t)|T'(t)|
Isso garante que N(t) tenha módulo 1 e seja ortogonal a T(t).

Passo 7

Para a curvatura usamos a fórmula
kappa(t)=|r'(t)times r''(t)||r'(t)|^3

Passo 8

Calculamos o produto vetorial:
r'(t)times r''(t)=llang<=-12t^2,,-48t,,-8rrang<=
e seu módulo:
|r'times r''|=4raiz9t^4+144t^2+4

Passo 9

Finalmente, a curvatura é
kappa(t)=4raiz9t^4+144t^2+4l(16+4t^2+36t^4r)^3/2

Resposta

T(t)=\frac{\langle4,,-2t,,6t2\rangle}{\sqrt{16+4t2+36t^4}}, N(t)=\frac{T’(t)}{|T’(t)|}, \kappa(t)=\frac{4\sqrt{9t4+144t2+4}}{\bigl(16+4t2+36t4\bigr)^{3/2}}

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