Utilize a fórmula k(t)=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3 para encontrar a curvatura.
t^2 i+t k

Passo 1

A gente tem a curva r(t)=t^2,i+t,k e quer achar a curvatura usando a fórmula kappa(t)=dfracl|r'(t)timesr''(t)r|l|r'(t)r|^3. Para isso, precisamos calcular r'(t), r''(t), o produto vetorial e as normas correspondentes.

Passo 2

Derivando componente a componente, obtemos
r'(t)=ddtllang<= t^2,0,trrang<==lang<=2t,0,1rang<=

Passo 3

Derivando novamente, chegamos a
r''(t)=ddtlang<=2t,0,1rang<==lang<=2,0,0rang<=

Passo 4

Agora usamos a definição de produto vetorial:
r'(t)timesr''(t)= i & j & k 2t & 0 & 1 2 & 0 & 0 =2,j

Passo 5

Em seguida, calculamos as normas:
l|r'(t)timesr''(t)r|=|2,j|=2,
l|r'(t)r|=raiz(2t)^2+0^2+1^2=raiz4t^2+1

Passo 6

Por fim, substituímos na fórmula da curvatura:
kappa(t)=2l(raiz4t^2+1r)^3=2(4t^2+1)^3/2

Resposta

kappa(t)=2(4t^2+1)^3/2

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