Utilize a fórmula de soma ou subtração de arcos para determinar os valores abaixo:
tan (165^circ);

Passo 1

O enunciado pede para calcular tan(165^circ) usando fórmulas de soma ou subtração de arcos. O conteúdo principal é trigonometria, mais especificamente a fórmula da tangente para diferenças de ângulos e valores conhecidos de tan(45^circ) e tan(30^circ).

Passo 2

Repare que 165^circ = 180^circ - 15^circ. Usando a identidade de tangente para ângulo suplementar, temos:
tan(180^circ - theta) = -tan(theta)
Logo,
tan(165^circ) = tan(180^circ - 15^circ) = -tan(15^circ)

Passo 3

Para encontrar tan(15^circ), usamos a fórmula da tangente da diferença:
tan(alpha - beta) = tanalpha - tanbeta1 + tanalpha,tanbeta
Escolhendo alpha = 45^circ e beta = 30^circ, e sabendo que tan(45^circ)=1 e tan(30^circ)=1raiz3, temos:
tan(15^circ) = 1 - 1raiz31 + 1cdot1raiz3 = raiz3 - 1raiz3raiz3 + 1raiz3 = raiz3 - 1raiz3 + 1

Passo 4

Para simplificar raiz3 - 1raiz3 + 1, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado (raiz3 - 1):
(raiz3 - 1)^2(raiz3 + 1)(raiz3 - 1) = 3 - 2raiz3 + 13 - 1 = 4 - 2raiz32 = 2 - raiz3
Logo, tan(15^circ) = 2 - raiz3.

Passo 5

Voltando ao resultado de tan(165^circ) = -tan(15^circ), concluímos que
tan(165^circ) = -(2 - raiz3) = raiz3 - 2

Resposta

tan(165^circ)=raiz3 - 2

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