Utilize uma das fórmulas:
para achar a área sob um arco de cicloide
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos fazer aqui é encontrar a área sob um arco de cicloide usando uma das fórmulas de integrais de linha. A matéria envolvida é Cálculo, mais especificamente integrais de linha e curvas paramétricas. Vamos precisar usar a fórmula $ A = \oint_{C} x , dy $ e as equações paramétricas da cicloide que são $ x = t - \sin t $ e $ y = 1 - \cos t $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações da cicloide. Temos:
Essas equações paramétricas descrevem a posição de um ponto na cicloide em função de um parâmetro $ t $.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ dy $, que é a derivada de $ y $ em relação a $ t $:
Passo 4
Vamos usar a fórmula $ A = \oint_{C} x , dy $ para calcular a área. Substituindo $ x(t) $ e $ dy $:
Estamos integrando de $ 0 $ a $ 2\pi $ porque a cicloide completa um ciclo no intervalo desse domínio.
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
Passo 6
Calculando a primeira integral $ \int t \sin t , dt $:
Usamos integração por partes onde $ u = t $ e $ dv = \sin t , dt $. Então, $ du = dt $ e $ v = -\cos t $.
Agora avaliamos de $ 0 $ a $ 2\pi $:
Passo 7
Agora calculamos a segunda integral $ \int \sin^2 t , dt $:
Sabemos que $ \sin^2 t = \frac{1 - \cos(2t)}{2} $, então:
Avaliando de $ 0 $ a $ 2\pi $:
Passo 8
Juntando as duas partes da integral:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área sob um arco de cicloide é $ 3\pi $.