Utilize uma das fórmulas: A=ointC x d y=-ointC y d x=12 ointC x d y-y d x para achar a área sob um arco de cicloide x=t-sin t, y=1-cos t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos fazer aqui é encontrar a área sob um arco de cicloide usando uma das fórmulas de integrais de linha. A matéria envolvida é Cálculo, mais especificamente integrais de linha e curvas paramétricas. Vamos precisar usar a fórmula $ A = \oint_{C} x , dy $ e as equações paramétricas da cicloide que são $ x = t - \sin t $ e $ y = 1 - \cos t $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações da cicloide. Temos:
x(t) = t - sin t
y(t) = 1 - cos t
Essas equações paramétricas descrevem a posição de um ponto na cicloide em função de um parâmetro $ t $.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ dy $, que é a derivada de $ y $ em relação a $ t $:
dy
y

Passo 4

Vamos usar a fórmula $ A = \oint_{C} x , dy $ para calcular a área. Substituindo $ x(t) $ e $ dy $:
A = ointC x , dy
Estamos integrando de $ 0 $ a $ 2\pi $ porque a cicloide completa um ciclo no intervalo desse domínio.

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
A = integral0^2pi t sin t , dt - integral0^2pi sin^2 t , dt

Passo 6

Calculando a primeira integral $ \int t \sin t , dt $:
Usamos integração por partes onde $ u = t $ e $ dv = \sin t , dt $. Então, $ du = dt $ e $ v = -\cos t $.
integral t sin t , dt
Agora avaliamos de $ 0 $ a $ 2\pi $:
u = t

Passo 7

Agora calculamos a segunda integral $ \int \sin^2 t , dt $:
Sabemos que $ \sin^2 t = \frac{1 - \cos(2t)}{2} $, então:
integral sin^2 t , dt
Avaliando de $ 0 $ a $ 2\pi $:
sin^2 t = 1 - cos(2t)2

Passo 8

Juntando as duas partes da integral:
A = -2pi - pi = -3pi
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
A = 3pi

Resposta

A área sob um arco de cicloide é $ 3\pi $.

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