Utilize a regra da cadeia para calcular as integrais a seguir:
integral(-x^3+3 x) e^-x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de (-x^3 + 3x) e^-x em relação a x. Isso envolve o conteúdo de integração por partes, que é uma técnica poderosa para integrar produtos de funções. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será u e qual será dv. Geralmente, escolhemos u como a parte que simplifica quando derivada, e dv como o restante que podemos integrar facilmente.

Passo 3

Vamos dividir a nossa integral em partes para facilitar. Vamos considerar:
u = -x^3 + 3x e dv = e^-x dx
Agora, precisamos derivar u para encontrar du e integrar dv para encontrar v.

Passo 4

Calculando du:
du = ddx(-x^3 + 3x) dx = (-3x^2 + 3) dx
E integrando dv para encontrar v:
v = integral e^-x dx = -e^-x

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral (-x^3 + 3x) e^-x dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= (-x^3 + 3x) (-e^-x) - integral (-e^-x) (-3x^2 + 3) dx
Simplificando:
= (x^3 - 3x) e^-x - integral e^-x (3x^2 - 3) dx

Passo 6

Agora, temos outra integral para resolver: integral e^-x (3x^2 - 3) dx. Podemos factorar o 3:
3 integral e^-x (x^2 - 1) dx
Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa nova integral.

Passo 7

Definindo para a nova integração por partes:
u = x^2 - 1 e dv = e^-x dx
Calculando du e v:
du = 2x dx e v = -e^-x

Passo 8

Aplicando a fórmula novamente:
integral (x^2 - 1) e^-x dx = (x^2 - 1)(-e^-x) - integral (-e^-x) (2x) dx
Simplificando:
= -(x^2 - 1) e^-x + 2 integral x e^-x dx

Passo 9

Agora, precisamos resolver integral x e^-x dx. Mais uma vez, usamos integração por partes.
Escolhendo:
u = x e dv = e^-x dx
Então:
du = dx e v = -e^-x

Passo 10

Aplicando a fórmula:
integral x e^-x dx = x (-e^-x) - integral (-e^-x) dx = -x e^-x + integral e^-x dx = -x e^-x - e^-x + C

Passo 11

Voltando à etapa anterior:
= -(x^2 - 1) e^-x + 2(-x e^-x - e^-x) = -(x^2 - 1) e^-x - 2x e^-x - 2 e^-x
Simplificando:
= -x^2 e^-x + e^-x - 2x e^-x - 2 e^-x = -x^2 e^-x - 2x e^-x - e^-x

Passo 12

Agora, substituímos esse resultado de volta na nossa expressão anterior:
(x^3 - 3x) e^-x - 3 ( -x^2 e^-x - 2x e^-x - e^-x )
Distribuindo o -3:
(x^3 - 3x) e^-x + 3x^2 e^-x + 6x e^-x + 3 e^-x

Passo 13

Vamos combinar os termos semelhantes:
x^3 e^-x + 3x^2 e^-x + 3x e^-x + 3 e^-x
Podemos fatorar e^-x:
e^-x (x^3 + 3x^2 + 3x + 3) + C

Resposta

A integral de (-x^3 + 3x) e^-x dx é:
e^-x (x^3 + 3x^2 + 3x + 3) + C

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