Utilize a regra da cadeia para calcular as integrais a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de
em relação a
. Isso envolve o conteúdo de integração por partes, que é uma técnica poderosa para integrar produtos de funções. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
. Geralmente, escolhemos
como a parte que simplifica quando derivada, e
como o restante que podemos integrar facilmente.
Passo 3
Vamos dividir a nossa integral em partes para facilitar. Vamos considerar:
Agora, precisamos derivar
para encontrar
e integrar
para encontrar
.
Passo 4
Calculando
:
E integrando
para encontrar
:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos outra integral para resolver:
. Podemos factorar o 3:
Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa nova integral.
Passo 7
Definindo para a nova integração por partes:
Calculando
e
:
Passo 8
Aplicando a fórmula novamente:
Simplificando:
Passo 9
Agora, precisamos resolver
. Mais uma vez, usamos integração por partes.
Escolhendo:
Então:
Passo 10
Aplicando a fórmula:
Passo 11
Voltando à etapa anterior:
Simplificando:
Passo 12
Agora, substituímos esse resultado de volta na nossa expressão anterior:
Distribuindo o -3:
Passo 13
Vamos combinar os termos semelhantes:
Podemos fatorar
:
Resposta
A integral de
é: