Utilize a regra da cadeia para calcular as integrais a seguir:
Passo 1
O problema pede para calcular a integral
. O tópico envolvido é integração por partes, que se baseia na regra do produto (e é derivada da regra da cadeia), e vamos precisar usar a fórmula
.
Passo 2
Escolhemos as funções de modo a simplificar a integral:
e
. Essa escolha faz com que
seja um polinômio mais simples e a antiderivada de
seja bem conhecida.
Passo 3
Calculamos
e
separadamente. Como
,
E como
,
Passo 4
Aplicamos agora a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Isso dá
Passo 5
Agora focamos em
. Podemos distribuir ou usar partes de novo. Vamos distribuir:
Passo 6
Para
usamos partes com
,
. Assim
Logo
Substituindo de volta:
Passo 7
Portanto a integral original fica
Basta agora expandir e agrupar termos se quiser, e lembrar da constante
.
Resposta
-x^2\cos x + 2x\cos x + 2x\sin x + 2\cos x - 2\sin x + C