Utilize a regra da cadeia para calcular as integrais a seguir:
integral(x^2-2 x) sen x d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral integral (x^2-2x),sin x,dx. O tópico envolvido é integração por partes, que se baseia na regra do produto (e é derivada da regra da cadeia), e vamos precisar usar a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos as funções de modo a simplificar a integral: u = x^2 - 2x e dv = sin x,dx. Essa escolha faz com que du seja um polinômio mais simples e a antiderivada de sin x seja bem conhecida.

Passo 3

Calculamos du e v separadamente. Como u = x^2 - 2x,
du = (2x - 2),dx
E como dv = sin x,dx,
v = integral sin x,dx = -cos x

Passo 4

Aplicamos agora a fórmula de integração por partes:
integral u,dv = u,v - integral v,du
Substituindo u, v e du:
integral (x^2 - 2x),sin x,dx = (x^2 - 2x)(-cos x) - integral l(-cos xr)(2x - 2),dx
Isso dá
-(x^2 - 2x)cos x + integral (2x - 2)cos x,dx

Passo 5

Agora focamos em integral (2x-2)cos x,dx. Podemos distribuir ou usar partes de novo. Vamos distribuir:
integral (2x-2)cos x,dx = 2integral xcos x,dx - 2integral cos x,dx

Passo 6

Para integral xcos x,dx usamos partes com u2 = x, dv2 = cos x,dx. Assim
du2 = dx, v2 = sin x
Logo
integral xcos x,dx = xsin x - integral sin x,dx = xsin x + cos x
Substituindo de volta:
2integral xcos x,dx - 2integral cos x,dx = 2l(xsin x + cos xr) - 2sin x = 2xsin x + 2cos x - 2sin x

Passo 7

Portanto a integral original fica
-(x^2 - 2x)cos x + l(2xsin x + 2cos x - 2sin xr) + C
Basta agora expandir e agrupar termos se quiser, e lembrar da constante C.

Resposta

-x^2\cos x + 2x\cos x + 2x\sin x + 2\cos x - 2\sin x + C

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