Questão 6: Para quais valores de p a integral
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} d x
é convergente? Dica: Revisar a seção de integrais impróprias.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado: a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}}\,dx
é dada, e a pergunta é: para quais valores de p essa integral é convergente (ou seja, tem valor finito)? Dados relevantes: o intervalo de integração é semi-infinito [1,\infty) e a função integranda é x\mapsto x^{-p}.

Passo 2

Definição de integral imprópria no caso de limite infinito (aula rápida): para integrar numa faixa que vai até infinito, interpretamos a integral como um limite finito. Ou seja,
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx \equiv \lim_{A\to\infty}\int_{1}^{A} x^{-p}\,dx.
A integral converge exatamente quando esse limite existir e for finito. Nosso trabalho é calcular \int_{1}^{A} x^{-p}\,dx em função de A e depois estudar o limite quando A\to\infty.

Passo 3

Primeiro caso: p\neq 1. Vamos achar a primitiva de x^{-p}. Regra básica: \displaystyle\int x^{\alpha}\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C sempre que \alpha\neq-1. Aqui \alpha=-p, então \alpha+1=1-p. Assim, para p\neq 1,
\int x^{-p}\,dx=\frac{x^{1-p}}{1-p}+C.
Aplicando aos limites 1 e A,
\int_{1}^{A} x^{-p}\,dx=\left.\frac{x^{1-p}}{1-p}\right|_{1}^{A}=\frac{A^{1-p}-1}{1-p}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando A\to\infty. Precisamos analisar o comportamento de A^{1-p} quando A\to\infty. Há três subcasos:
  • Se 1-p<0 (ou seja, p>1), então A^{1-p}\to 0 quando A\to\infty. Portanto
    \lim_{A\to\infty}\frac{A^{1-p}-1}{1-p}=\frac{0-1}{1-p}=-\frac{1}{1-p}=\frac{1}{p-1},
    que é finito. Logo, para p>1 a integral converge e seu valor é \dfrac{1}{p-1}.
  • Se 1-p>0 (ou seja, p<1), então A^{1-p}\to\infty quando A\to\infty. Assim \dfrac{A^{1-p}-1}{1-p}\to\infty (ou diverge em módulo), logo a integral diverge.
  • O caso restante é 1-p=0, que é p=1; trataremos separadamente no próximo passo.

Passo 5

Caso p=1. A integral fica
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{A\to\infty}\int_{1}^{A}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{A\to\infty}\bigl[\ln x\bigr]_{1}^{A}=\lim_{A\to\infty}\ln A=\infty.
Portanto para p=1 a integral diverge (é a clássica integral harmônica impropria).

Passo 6

Interpretação intuitiva (rapidinha e motivadora): a convergência depende de quão rápido x^{-p} tende a zero quando x\to\infty. Se p>1 o decaimento é suficientemente rápido para que a área total até o infinito seja finita; se p\le 1 o decaimento é lento demais e a área acumula até divergir.

Resposta

A integral converge somente para p>1.

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