é convergente? Dica: Revisar a seção de integrais impróprias.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado: a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}}\,dx
é dada, e a pergunta é: para quais valores de p essa integral é convergente (ou seja, tem valor finito)? Dados relevantes: o intervalo de integração é semi-infinito [1,\infty) e a função integranda é x\mapsto x^{-p}.
Passo 2
Definição de integral imprópria no caso de limite infinito (aula rápida): para integrar numa faixa que vai até infinito, interpretamos a integral como um limite finito. Ou seja,
A integral converge exatamente quando esse limite existir e for finito. Nosso trabalho é calcular \int_{1}^{A} x^{-p}\,dx em função de A e depois estudar o limite quando A\to\infty.
Passo 3
Primeiro caso: p\neq 1. Vamos achar a primitiva de x^{-p}. Regra básica: \displaystyle\int x^{\alpha}\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C sempre que \alpha\neq-1. Aqui \alpha=-p, então \alpha+1=1-p. Assim, para p\neq 1,
que é finito. Logo, para p>1 a integral converge e seu valor é \dfrac{1}{p-1}.
Se 1-p>0 (ou seja, p<1), então A^{1-p}\to\infty quando A\to\infty. Assim \dfrac{A^{1-p}-1}{1-p}\to\infty (ou diverge em módulo), logo a integral diverge.
O caso restante é 1-p=0, que é p=1; trataremos separadamente no próximo passo.
Portanto para p=1 a integral diverge (é a clássica integral harmônica impropria).
Passo 6
Interpretação intuitiva (rapidinha e motivadora): a convergência depende de quão rápido x^{-p} tende a zero quando x\to\infty. Se p>1 o decaimento é suficientemente rápido para que a área total até o infinito seja finita; se p\le 1 o decaimento é lento demais e a área acumula até divergir.