Utilize a função f(x)=(1+x)^{3} para responder a cada um dos itens abaixo:
( 1,0 ponto) determine a reta tangente ao gráfico de f no ponto (0,1), que será denotada por r(x);

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a reta tangente ao gráfico da função \;f(x)=(1+x)^{3}\; no ponto \;(0,1)\;.
Informações dadas: a função \;f(x)=(1+x)^{3}\; e o ponto de tangência \;(0,1)\; (que corresponde a \;x=0 e \;f(0)=1\;).

Passo 2

O que é a reta tangente num ponto? Vou explicar de forma direta: a reta tangente ao gráfico de uma função num ponto tem a mesma inclinação (mesma derivada) que a função naquele ponto e passa pelo ponto. Matematicamente, se a inclinação no ponto \;x=a\; é \;f'(a)\;, a equação ponto‑inclinação da reta é
y - f(a) = f'(a)\,(x-a).
Aqui vamos aplicar isso com \;a=0\;. Então precisamos de \;f'(0)\;, a derivada de \;f\; em \;0\;.

Passo 3

Vou calcular \;f'(0)\; usando a definição de derivada (diferença quociente), que é bem didática e não exige decorar regras:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Tomando \;a=0\; temos
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Calculo f(0+h)=f(h)=(1+h)^{3}. Expandindo (1+h)^{3} (é útil lembrar o binômio):
(1+h)^{3}=1+3h+3h^{2}+h^{3}.
Substituindo na definição:
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{(1+3h+3h^{2}+h^{3})-1}{h} =\lim_{h\to0}\frac{3h+3h^{2}+h^{3}}{h} =\lim_{h\to0}\bigl(3+3h+h^{2}\bigr).
Como \;3+3h+h^{2}\; é contínuo e ao fazer \;h\to0\; obtemos
f'(0)=3.

Passo 4

Agora que sabemos a inclinação da tangente em \;x=0\; (que é \;f'(0)=3\;) e que o ponto de passagem é \;(0,1)\;, usamos a fórmula ponto‑inclinação:
y-f(0)=f'(0)\,(x-0).
Substituindo f(0)=1 e f'(0)=3:
y-1=3x.
Isolando y obtemos a equação da reta tangente como função:
r(x)=1+3x.

Resposta

r(x)=1+3x

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