Utilize a função
para responder a cada um dos itens abaixo:
( 1,0 ponto) determine a Série de MacLaurin com 3 termos no ponto
, que aqui será denotada por
( 1,0 ponto) determine a Série de MacLaurin com 3 termos no ponto
Passo 1
O enunciado pede: usar a função
e determinar a Série de Maclaurin com 3 termos, que chamaremos de
.
Informações dadas: a função é e o ponto de expansão é
(Maclaurin é Taylor centrada em
).
Observação importante: “3 termos” significa aqui pegar os três primeiros termos do polinômio de Maclaurin, ou seja os termos correspondentes às potências .
Informações dadas: a função é
Observação importante: “3 termos” significa aqui pegar os três primeiros termos do polinômio de Maclaurin, ou seja os termos correspondentes às potências
Passo 2
Vamos lembrar o que é a série de Maclaurin e como obter os coeficientes. A série de Maclaurin de uma função
é a expansão em série de potências centrada em
. Os coeficientes vêm das derivadas de
avaliadas em
. A forma do polinômio de Maclaurin com até grau
(ou com
termos) é
Aqui
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
(por exemplo
,
). Explico por que: a expansão de Taylor em torno de
é obtida aproximando
por um polinômio cujos coeficientes garantem que
e o polinômio tenham as mesmas derivadas até certa ordem em
.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de
. Usamos a regra do poder (derivada de
é
) com
e
.
A função e suas derivadas são:
A função e suas derivadas são:
Eu mostrei até a terceira derivada porque dá para ver o padrão e porque para três termos só precisamos até
, mas é útil confirmar que a derivada terceira é constante.
Passo 4
Avaliamo-las em
(pois é Maclaurin):
Esses valores são os coeficientes (antes de dividir por
) que entram na fórmula.
Passo 5
Montamos o polinômio de Maclaurin com 3 termos, ou seja os termos
:
Substituindo os valores que encontramos:
Comentário amigo: como
já é um polinômio de grau
, a série completa teria também o termo
com coeficiente
. Mas como o enunciado pediu só 3 termos, paramos em
.