Utilize a função f(x)=(1+x)^{3} para responder a cada um dos itens abaixo:
( 1,0 ponto) determine a Série de MacLaurin com 3 termos no ponto (0,1), que aqui será denotada por s(x)

Passo 1

O enunciado pede: usar a função f(x)=(1+x)^{3} e determinar a Série de Maclaurin com 3 termos, que chamaremos de s(x).
Informações dadas: a função é (1+x)^{3} e o ponto de expansão é 0 (Maclaurin é Taylor centrada em 0).
Observação importante: “3 termos” significa aqui pegar os três primeiros termos do polinômio de Maclaurin, ou seja os termos correspondentes às potências x^{0},x^{1},x^{2}.

Passo 2

Vamos lembrar o que é a série de Maclaurin e como obter os coeficientes. A série de Maclaurin de uma função f é a expansão em série de potências centrada em 0. Os coeficientes vêm das derivadas de f avaliadas em 0. A forma do polinômio de Maclaurin com até grau n-1 (ou com n termos) é
s_{n-1}(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^{k}.
Aqui f^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de f avaliada em 0, e k! é o fatorial de k (por exemplo 2! = 2, 3! = 6). Explico por que: a expansão de Taylor em torno de 0 é obtida aproximando f por um polinômio cujos coeficientes garantem que f e o polinômio tenham as mesmas derivadas até certa ordem em 0.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de f(x)=(1+x)^{3}. Usamos a regra do poder (derivada de u^{3} é 3u^{2}u') com u=1+x e u'=1.
A função e suas derivadas são:
f(x)=(1+x)^{3},
f'(x)=3(1+x)^{2},
f''(x)=6(1+x),
f^{(3)}(x)=6.
Eu mostrei até a terceira derivada porque dá para ver o padrão e porque para três termos só precisamos até f'', mas é útil confirmar que a derivada terceira é constante.

Passo 4

Avaliamo-las em x=0 (pois é Maclaurin):
f(0)=(1+0)^{3}=1,
f'(0)=3(1+0)^{2}=3,
f''(0)=6(1+0)=6.
Esses valores são os coeficientes (antes de dividir por k!) que entram na fórmula.

Passo 5

Montamos o polinômio de Maclaurin com 3 termos, ou seja os termos k=0,1,2:
s(x)=\sum_{k=0}^{2}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k} = \frac{f(0)}{0!} + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^{2}.
Substituindo os valores que encontramos:
s(x)=\frac{1}{1} + \frac{3}{1}x + \frac{6}{2}x^{2} = 1 + 3x + 3x^{2}.
Comentário amigo: como f já é um polinômio de grau 3, a série completa teria também o termo x^{3} com coeficiente 1. Mas como o enunciado pediu só 3 termos, paramos em x^{2}.

Resposta

s(x)=1+3x+3x^{2}

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