Considere X \sim N(100,10).
Calcule:
P(X \leq 120)

Passo 1

O enunciado dá X \sim N(100,10) e pede o valor de P(X \leq 120).
Vou assumir que a segunda entrada da notação é o desvio-padrão (ou seja, \sigma = 10 e não a variância). Essa é a interpretação mais prática aqui porque gera um cálculo não-trivial e é a forma frequentemente usada em exercícios como este.
Informações relevantes listadas:
  • \mu = 100 (média).
  • \sigma = 10 (desvio-padrão).
  • Queremos P(X \leq 120).

Passo 2

Explicação do conceito que vamos usar (bem devagarinho): quando X é normal com média \mu e desvio-padrão \sigma, podemos transformar X numa variável normal padrão Z com média 0 e desvio-padrão 1 usando a padronização. A padronização é a fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a variável original;
  • \mu é a média de X;
  • \sigma é o desvio-padrão de X;
  • Z tem distribuição N(0,1).
Essa transformação é útil porque tabelas (ou calculadoras) dão os valores da função de distribuição acumulada da normal padrão \Phi(z)=P(Z\le z). Então para calcular P(X\le x_0) usamos
P(X\le x_0)=P\!\left(Z\le\frac{x_0-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\!\left(\frac{x_0-\mu}{\sigma}\right).

Passo 3

Aplicando a padronização ao nosso caso com x_0=120, \mu=100 e \sigma=10:
z=\frac{120-100}{10}=\frac{20}{10}=2.
Ou seja,
P(X\le 120)=P(Z\le 2)=\Phi(2).

Passo 4

Agora precisamos do valor de \Phi(2), que é a probabilidade acumulada da normal padrão até z=2. Esse valor é obtido em tabelas da normal padrão ou em calculadora estatística. A tabela padrão dá
\Phi(2,00)=0,97725.
Explicando rápido: isso significa que a probabilidade de uma normal padrão assumir valor até 2 é aproximadamente 0,97725, ou seja, cerca de 97,725\%.

Passo 5

Portanto, concluímos que
P(X\le 120)=\Phi(2)=0,97725\\ (\text{aproximadamente}).

Resposta

0,97725

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