Utilize o Geogebra para obter o campo de direções correspondente à EDO
.
Seja
a solução correspondente à condição inicial
. Para quais valores de
tem-se
finito?
Seja
Passo 1
Vamos ver qual é o enunciado na prática e o que precisamos: temos a EDO autônoma
e queremos, para cada condição inicial
, saber para quais
o limite
é finito. Vamos usar teoria de pontos de equilíbrio e análise de sinal.
Passo 2
Para começar, achamos os pontos de equilíbrio (onde
). Resolvendo
vemos que as raízes são
Esses são os pontos em que a solução não varia.
Passo 3
Agora estudamos o sinal de
em cada intervalo da reta real:
- Se
, então e , logo . - Se
, então e , logo . - Se
, então e , logo .
Passo 4
Com esse quadro de sinais construímos o diagrama de fase:
- Para
, faz crescer até se aproximar de . - Para
, faz decrescer até . - Em
ou , a solução fica estacionária nesses pontos. - Para
, faz crescer sem limite e estoura (vai para em tempo finito).
Passo 5
Logo, o único atrator é
, e
é instável (mas em
o limite é 2). Para
não temos limite finito. Portanto o limite
é finito exatamente quando
.
Resposta
O limite é finito para todos os valores de condição inicial satisfazendo
.