Utilize o Geogebra para obter o campo de direções correspondente à EDO y^prime=(1-y)(2-y).
Seja y=y(t, y0) a solução correspondente à condição inicial y(0)=y0. Para quais valores de y0 tem-se lim t infty y(t, y0) finito?

Passo 1

Vamos ver qual é o enunciado na prática e o que precisamos: temos a EDO autônoma y'= (1-y)(2-y) e queremos, para cada condição inicial y(0)=y0, saber para quais y0 o limite limttoinftyy(t,y0) é finito. Vamos usar teoria de pontos de equilíbrio e análise de sinal.

Passo 2

Para começar, achamos os pontos de equilíbrio (onde y'=0). Resolvendo (1-y)(2-y)=0 vemos que as raízes são y=1e y=2 Esses são os pontos em que a solução não varia.

Passo 3

Agora estudamos o sinal de y'=(1-y)(2-y) em cada intervalo da reta real:
  • Se y<1, então 1-y>0 e 2-y>0, logo y'>0.
  • Se 1, então 1-y<0 e 2-y>0, logo y'<0.
  • Se y>2, então 1-y<0 e 2-y<0, logo y'>0.

Passo 4

Com esse quadro de sinais construímos o diagrama de fase:
  • Para y0<1, y'!>0 faz y(t) crescer até se aproximar de y=1.
  • Para 1, y'<0 faz y(t) decrescer até y=1.
  • Em y0=1 ou y0=2, a solução fica estacionária nesses pontos.
  • Para y0>2, y'>0 faz y(t) crescer sem limite e estoura (vai para +infty em tempo finito).

Passo 5

Logo, o único atrator é y=1, e y=2 é instável (mas em y0=2 o limite é 2). Para y0>2 não temos limite finito. Portanto o limite limttoinftyy(t,y0) é finito exatamente quando y0<=2.

Resposta

O limite é finito para todos os valores de condição inicial satisfazendo y0<=2.

Exercícios relacionados