Utilizando o método de separação de variáveis ou o método do fator integrante, determine a solução de cada um dos problemas seguintes:
dydt=t y^2+t, y(0)=0.

Passo 1

O problema é resolver a EDO de primeira ordem tfracdydt=t,y^2+t com condição inicial y(0)=0. O conteúdo principal aqui é separação de variáveis, em que vamos isolar y de um lado e t do outro para depois integrar.

Passo 2

Para colocar a equação em forma separável, dividimos ambos os lados por y^2+1 e escrevemos em termos de diferenciais:
dyy^2+1=t,dt

Passo 3

Agora integramos cada lado em relação à sua variável. No lado esquerdo, usamos integral!dy/(y^2+1)=arctan y; no direito, integral!t,dt=tfract^22. Ficamos com:
arctan y=t^22+C

Passo 4

Usando a condição inicial y(0)=0, temos arctan(0)=0, logo C=0. Portanto
arctan y=t^22

Passo 5

Finalmente, isolamos y aplicando a tangente em ambos os lados: y=tanl(tfract^22r).

Resposta

y(t)=tanl(tfract^22r)

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