Resolva analiticamente cada um dos PVIs.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por dydt=t+1 com y(0)=1. O conteúdo aqui é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem do tipo dy/dt=f(t), que a gente resolve integrando em relação a t e depois usa a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Vamos integrar ambos os lados em relação a t. Temos
y(t)=integral (t+1),dt=12t^2+t+C

Passo 3

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo t=0 na solução geral,
y(0)=12cdot0^2+0+C=C=1

Passo 4

Logo, a constante de integração é C=1, e a solução particular fica:
y(t)=12t^2+t+1

Resposta

y(t)=tfrac12t^2+t+1

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