Utilize as identidades trigonométricas já estabelecidas para provar as seguintes:
sin 4 theta cos 5 theta=12(sin 9 theta-sin theta)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a igualdade envolvendo funções trigonométricas é verdadeira: queremos provar que sin4thetacos5theta=tfrac12(sin9theta-sintheta). O conteúdo principal é a identidade produto-para-soma, e vamos usar as fórmulas de soma e diferença de ângulos.

Passo 2

A identidade produto-para-soma que vamos aplicar é:
sin Acos B=tfrac12l(sin(A+B)+sin(A-B)r)

Passo 3

Agora escolhemos A=4theta e B=5theta. Substituindo na identidade, temos:
sin4thetacos5theta=tfrac12l(sin(4theta+5theta)+sin(4theta-5theta)r)

Passo 4

Simplificando os argumentos das funções: 4theta+5theta=9theta e 4theta-5theta=-theta. Assim,
sin4thetacos5theta=tfrac12l(sin9theta+sin(-theta)r)

Passo 5

Como sin(-theta)=-sintheta, concluímos que
sin4thetacos5theta=tfrac12l(sin9theta-sinthetar), que era o que precisávamos demonstrar.

Resposta

sin4thetacos5theta=tfrac12(sin9theta-sintheta)

Exercícios relacionados