Utilize integração de funções racionais por frações parciais para resolver as integrais.
integral 2 x^3-4 x^2+x+3x^2-2 x-3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral2x^3-4x^2+x+3x^2-2x-3,dx usando integração de funções racionais por frações parciais. Essa técnica envolve primeiro verificar se a função é imprópria (grau do numerador ≥ grau do denominador) e, em caso afirmativo, fazer divisão polinomial, depois decompor a parte própria em frações parciais e, finalmente, integrar termo a termo.

Passo 2

Como o numerador tem grau 3 e o denominador grau 2, fazemos a divisão polinomial: dividindo 2x^3-4x^2+x+3 por x^2-2x-3 obtemos quociente 2x e resto 7x+3. Logo,
2x^3-4x^2+x+3x^2-2x-3=2x+7x+3x^2-2x-3

Passo 3

Para decompor 7x+3x^2-2x-3, fatoramos o denominador:
x^2-2x-3=(x-3)(x+1)

Passo 4

Então supomos
7x+3(x-3)(x+1)=Ax-3+Bx+1

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+1) e igualando coeficientes, temos
7x+3=A(x+1)+B(x-3)=(A+B)x+(A-3B)

Passo 6

Isso gera o sistema
A+B=7, A-3B=3

Passo 7

Resolvendo, obtemos B=1 e A=6. Logo a decomposição é
7x+3x^2-2x-3=6x-3+1x+1

Passo 8

Substituindo de volta na integral, fica
integral2x^3-4x^2+x+3x^2-2x-3,dx=integrall(2x+6x-3+1x+1r),dx

Passo 9

Agora integramos termo a termo:
  • integral2x,dx= x^2+ C1,
  • integral6x-3,dx=6ln|x-3|+ C2,
  • integral1x+1,dx=ln|x+1|+ C3.

Passo 10

Somando constantes em uma só C, obtemos o resultado final:
integral2x^3-4x^2+x+3x^2-2x-3,dx = x^2 + 6ln|x-3| + ln|x+1| + C

Resposta

x^2+6ln|x-3|+ln|x+1|+C

Exercícios relacionados