circledast Encontre o comprimento de arco traçado pelo ponto final da representação posicional de sigma(t) quando t cresce de t1 = 1 para t2 = 4 se
sigma(t) = e^t sen(t) i + e^t cos(t) j

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o comprimento do arco percorrido pelo ponto final da função vetorial sigma(t) quando o parâmetro t varia de para . Isso envolve conhecimentos de Cálculo, especificamente no tópico de comprimento de arco para curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada de sigma(t), encontrar a velocidade do ponto e então integrar essa velocidade no intervalo dado.

Passo 2

A função vetorial dada é:
Aqui, i e j são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar o comprimento do arco, precisamos calcular a velocidade do ponto, que é a derivada de sigma(t) em relação a t. Vamos derivar cada componente separadamente.
Derivada de :
Derivada de :

Passo 4

Agora, a velocidade v(t) é dada pela magnitude do vetor derivada:
Substituindo e :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Fatorando :

Passo 6

Expandindo os termos dentro dos colchetes:
Somando ambos:
Pois .

Passo 7

Substituindo de volta:

Passo 8

Agora, o comprimento do arco S é a integral da velocidade de a :

Passo 9

Calculando a integral:
Portanto:

Resposta

O comprimento do arco percorrido pelo ponto final de sigma(t) de a é:

Exercícios relacionados