Utilize integrais triplas em coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido que satisfaz as seguintes condiçôes:
- Está contido no interior do cilindro
e possui todas as suas coordenadas maiores ou iguais a zero (ou seja, está no primeiro octante).
- Está abaixo do plano
.
- Está entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido usando integrais triplas em coordenadas cilíndricas. O sólido está dentro do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 9 $, no primeiro octante (onde $ x, y, z \geq 0 $), abaixo do plano $ 3x + 3y - z = 0 $ e entre os planos $ x - y = 0 $ e $ x = 0 $. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para lidar com cilindros e simetrias circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Elas são definidas por $ r $ (distância do ponto à origem no plano xy), $ \theta $ (ângulo em relação ao eixo x positivo) e $ z $ (altura). A relação com as coordenadas cartesianas é:
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para $ r $, $ \theta $ e $ z $.
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Para $ r $: Como o cilindro é $ x^{2} + y^{2} = 9 $, em coordenadas cilíndricas isso fica $ r^{2} = 9 $, então $ r $ varia de 0 a 3.
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Para $ \theta $: Estamos no primeiro octante e entre os planos $ x - y = 0 $ e $ x = 0 $.
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$ x = 0 $ corresponde a $ \theta = \frac{\pi}{2} $.
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$ x - y = 0 $ em coordenadas cilíndricas fica $ r \cos \theta - r \sin \theta = 0 $, ou seja, $ \cos \theta = \sin \theta $, o que dá $ \theta = \frac{\pi}{4} $.
Então, $ \theta $ varia de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{\pi}{2} $. -
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Para $ z $: O sólido está abaixo do plano $ 3x + 3y - z = 0 $, ou seja, $ z = 3x + 3y $.Em coordenadas cilíndricas, isso fica:Como estamos no primeiro octante, $ z $ varia de 0 a $ 3r(\cos \theta + \sin \theta) $.
Passo 4
Agora que temos os limites, podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. O volume $ V $ é dado por:
Aqui, o fator $ r $ vem do Jacobiano das coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em $ z $:
Agora, o volume fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral em $ r $:
Agora, o volume é:
Passo 7
Finalmente, vamos resolver a integral em $ \theta $:
Resposta
O volume do sólido é $ 27 $ unidades cúbicas.