Utilize integrais triplas em coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido que satisfaz as seguintes condiçôes:
  • Está contido no interior do cilindro x^2+y^2=9 e possui todas as suas coordenadas maiores ou iguais a zero (ou seja, está no primeiro octante).
  • Está abaixo do plano 3 x+3 y-z=0.
  • Está entre os planos x-y=0 e x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido usando integrais triplas em coordenadas cilíndricas. O sólido está dentro do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 9 $, no primeiro octante (onde $ x, y, z \geq 0 $), abaixo do plano $ 3x + 3y - z = 0 $ e entre os planos $ x - y = 0 $ e $ x = 0 $. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para lidar com cilindros e simetrias circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Elas são definidas por $ r $ (distância do ponto à origem no plano xy), $ \theta $ (ângulo em relação ao eixo x positivo) e $ z $ (altura). A relação com as coordenadas cartesianas é:
r
theta
z

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para $ r $, $ \theta $ e $ z $.
  • Para $ r $: Como o cilindro é $ x^{2} + y^{2} = 9 $, em coordenadas cilíndricas isso fica $ r^{2} = 9 $, então $ r $ varia de 0 a 3.
  • Para $ \theta $: Estamos no primeiro octante e entre os planos $ x - y = 0 $ e $ x = 0 $.
    • $ x = 0 $ corresponde a $ \theta = \frac{\pi}{2} $.
    • $ x - y = 0 $ em coordenadas cilíndricas fica $ r \cos \theta - r \sin \theta = 0 $, ou seja, $ \cos \theta = \sin \theta $, o que dá $ \theta = \frac{\pi}{4} $.
    Então, $ \theta $ varia de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{\pi}{2} $.
  • Para $ z $: O sólido está abaixo do plano $ 3x + 3y - z = 0 $, ou seja, $ z = 3x + 3y $.
    Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
    r
    Como estamos no primeiro octante, $ z $ varia de 0 a $ 3r(\cos \theta + \sin \theta) $.

Passo 4

Agora que temos os limites, podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. O volume $ V $ é dado por:
V
Aqui, o fator $ r $ vem do Jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em $ z $:
z
Agora, o volume fica:
integral0^3r(cos theta + sin theta) r , dz = r cdot z |0^3r(cos theta + sin theta) = r cdot 3r(cos theta + sin theta) = 3r^2(cos theta + sin theta)

Passo 6

Vamos resolver a integral em $ r $:
r
integral0^3 3r^2(cos theta + sin theta) , dr = 3(cos theta + sin theta) cdot integral0^3 r^2 , dr
= 3(cos theta + sin theta) cdot [ r^33 ]0^3
= 3(cos theta + sin theta) cdot ( 273 - 0 )
= 3(cos theta + sin theta) cdot 9
Agora, o volume é:
= 27(cos theta + sin theta)

Passo 7

Finalmente, vamos resolver a integral em $ \theta $:
theta
integralpi4^pi2 27(cos theta + sin theta) , dtheta = 27 ( integralpi4^pi2 cos theta , dtheta + integralpi4^pi2 sin theta , dtheta )
= 27 ( sin theta |pi4^pi2 - cos theta |pi4^pi2 )
= 27 ( sin pi2 - sin pi4 - ( cos pi2 - cos pi4 ) )
= 27 ( 1 - raiz22 - ( 0 - raiz22 ) )
= 27 ( 1 - raiz22 + raiz22 )
= 27 cdot 1

Resposta

O volume do sólido é $ 27 $ unidades cúbicas.

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