Utilize uma integral dupla, em coordenadas polares, para determinar a área da região indicada.
Dentro da cardioide r=1+\cos \theta e fora da circunferência r=1.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares e pede a área da região que está “dentro” da cardioide r=1+\cos\theta e “fora” da circunferência r=1. Informações relevantes fornecidas:
  • Cardioide: r=1+\cos\theta.
  • Circunferência: r=1.
  • Queremos a área da região que satisfaz simultaneamente: estar com r menor ou igual a 1+\cos\theta (dentro da cardioide) e com r maior ou igual a 1 (fora da circunferência).
    As perguntas implícitas: determinar os limites angulares \theta onde a região existe e montar/calcular a integral dupla em coordenadas polares que dá a área.

Passo 2

Relembrando o elemento de área em coordenadas polares e por que usamos isso: em coordenadas polares um pequeno elemento de área é um setor radial com comprimento radial dr e ângulo d\theta; a área desse setor é aproximadamente r\,dr\,d\theta. Portanto, a área de uma região R em coordenadas polares é dada por
A=\iint_{R} dA = \iint_{R} r\,dr\,d\theta.
Aqui r é a coordenada radial (distância ao polo) e \theta é o ângulo. Essa fórmula é fundamental para integrar áreas em polares.

Passo 3

Determinar onde a região existe: precisamos de pontos que satisfaçam simultaneamente
1 \le r \le 1+\cos\theta.
Para que esse intervalo em r seja não vazio, é necessário que 1 \le 1+\cos\theta, ou seja
\cos\theta \ge 0.
A solução de \cos\theta\ge 0 no intervalo principal dá os ângulos
-\tfrac{\pi}{2} \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}.
Além disso, as curvas se intersectam quando 1=1+\cos\theta, o que implica \cos\theta=0, produzindo exatamente os ângulos \theta=\pm \tfrac{\pi}{2}. Isso confirma os limites angulares acima. Conclusão: para cada \theta em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] a região radial vai de r=1 até r=1+\cos\theta.

Passo 4

Montar a integral dupla para a área usando os limites encontrados. A área é
A=\int_{\theta=-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{r=1}^{\,1+\cos\theta} r\,dr\,d\theta.
Aqui explicito: o limite interior r=1 é a circunferência externa (fora dela), o limite superior r=1+\cos\theta é a cardioide (dentro dela), e \theta percorre o arco onde a cardioide está fora da circunferência.

Passo 5

Calcular a integral interna em r. Integramos r em relação a r:
\int_{r=1}^{\,1+\cos\theta} r\,dr = \left.\tfrac{1}{2}r^{2}\right|_{1}^{1+\cos\theta} = \tfrac{1}{2}\big((1+\cos\theta)^{2}-1^{2}\big).
Desenvolvendo o quadrado:
(1+\cos\theta)^{2}-1 = 1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta -1 = 2\cos\theta + \cos^{2}\theta.
Logo a integral interna vale
\tfrac{1}{2}\big(2\cos\theta + \cos^{2}\theta\big) = \cos\theta + \tfrac{1}{2}\cos^{2}\theta.

Passo 6

Agora a integral em \theta fica
A=\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\left(\cos\theta + \tfrac{1}{2}\cos^{2}\theta\right)d\theta.
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 7

Calcular \displaystyle \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos\theta\,d\theta. Usamos que uma primitiva de \cos\theta é \sin\theta, então
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos\theta\,d\theta = \left.\sin\theta\right|_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right) = 1 - (-1) = 2.
Explicação: \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1 e \sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=-1.

Passo 8

Calcular \displaystyle \tfrac{1}{2}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{2}\theta\,d\theta. Usamos a identidade de duplicação
\cos^{2}\theta = \tfrac{1}{2}\big(1+\cos 2\theta\big).
Portanto
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \tfrac{1}{2}\big(1+\cos 2\theta\big)d\theta = \tfrac{1}{2}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} 1\,d\theta + \tfrac{1}{2}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos 2\theta\,d\theta.
Calculemos cada termo:
\tfrac{1}{2}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} 1\,d\theta = \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{\pi}{2}-\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)\right) = \tfrac{1}{2}\pi = \tfrac{\pi}{2}.
E
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos 2\theta\,d\theta = \left.\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\right|_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} = \tfrac{1}{2}\big(\sin \pi - \sin(-\pi)\big) = \tfrac{1}{2}(0-0) = 0.
Portanto
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{2}\theta\,d\theta = \tfrac{\pi}{2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava fora:
\tfrac{1}{2}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{2}\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{4}.

Passo 9

Somando as partes obtidas nos passos anteriores:
A = \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos\theta\,d\theta \;+\; \tfrac{1}{2}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{2}\theta\,d\theta = 2 + \tfrac{\pi}{4}.
Então a área da região pedida é 2+\tfrac{\pi}{4}.

Resposta

2+\dfrac{\pi}{4}

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