Utilize uma integral dupla, em coordenadas polares, para determinar a área da região indicada.
Dentro da cardioide r=1+\cos \theta e fora da circunferência r=1.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares e pede a área da região que está “dentro” da cardioide r=1+\cos\theta e “fora” da circunferência r=1. Informações relevantes fornecidas:
Cardioide: r=1+\cos\theta.
Circunferência: r=1.
Queremos a área da região que satisfaz simultaneamente: estar com r menor ou igual a 1+\cos\theta (dentro da cardioide) e com r maior ou igual a 1 (fora da circunferência).
As perguntas implícitas: determinar os limites angulares \theta onde a região existe e montar/calcular a integral dupla em coordenadas polares que dá a área.
Passo 2
Relembrando o elemento de área em coordenadas polares e por que usamos isso: em coordenadas polares um pequeno elemento de área é um setor radial com comprimento radial dr e ângulo d\theta; a área desse setor é aproximadamente r\,dr\,d\theta. Portanto, a área de uma região R em coordenadas polares é dada por
A=\iint_{R} dA = \iint_{R} r\,dr\,d\theta.
Aqui r é a coordenada radial (distância ao polo) e \theta é o ângulo. Essa fórmula é fundamental para integrar áreas em polares.
Passo 3
Determinar onde a região existe: precisamos de pontos que satisfaçam simultaneamente
1 \le r \le 1+\cos\theta.
Para que esse intervalo em r seja não vazio, é necessário que 1 \le 1+\cos\theta, ou seja
\cos\theta \ge 0.
A solução de \cos\theta\ge 0 no intervalo principal dá os ângulos
-\tfrac{\pi}{2} \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}.
Além disso, as curvas se intersectam quando 1=1+\cos\theta, o que implica \cos\theta=0, produzindo exatamente os ângulos \theta=\pm \tfrac{\pi}{2}. Isso confirma os limites angulares acima. Conclusão: para cada \theta em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] a região radial vai de r=1 até r=1+\cos\theta.
Passo 4
Montar a integral dupla para a área usando os limites encontrados. A área é
Aqui explicito: o limite interior r=1 é a circunferência externa (fora dela), o limite superior r=1+\cos\theta é a cardioide (dentro dela), e \theta percorre o arco onde a cardioide está fora da circunferência.
Passo 5
Calcular a integral interna em r. Integramos r em relação a r: